ν (t ) = 0.6 2 gh 这是可分离变量的一阶微分方程， 这是可分离变量的一阶微分方程，得 2 2 0 π [ R ( 因体积守衡，又可得： h) ] dh 因体积守衡，又可得R ： T=
易见： 易见： 故有： 故有：
= (2 ∫R hR2 h h ) dh 2 g r0.6 SR 2 ( R ) =
（3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象 的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复 杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现 象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再 去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象。
理想单摆运动） 例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微 分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图3-1中不难看出，小球所受的合力为 从图 g 中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ， 中不难看出 ， 根据牛顿第二定律可得： 牛顿第二定律可得 根据牛顿第二定律可得： θ + θ = 0 （3.2） ） 3.1） （3.1）的 l 近似方程 mlθ = mg sin θ 从而得出两阶微分方程： 从而得出两阶微分方程： （3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt 3.2）的解为: 这是理想单摆应 g θ + sin θ = 0 其中 ω = g 3.1） 满足的运动方程 （ ） l l T θ (0) 0, ,θ(t)=0 当t = =时θ (0) = θ 0 4 gT π = 故有 l 4 2 3.1）是一个两阶非线性方程， （3.1）是一个两阶非线性方程，不 由此即可得出 很小时， 易求解。 ，此时， 易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时， g T = 2π 可考察（3.1）的近似线性方程： 可考s ) 2 = (dr ) 2 + (rdθ ) 2 可看出 (
θ 图3-2
B
A
故有: 故有 3( dr ) 2 = r 2 (dθ ) 2 即:
r dr = dθ 3
θ
（3.3） （3.4）
解为： 解为：r
= Ae
3
追赶方法如下： 追赶方法如下： 先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按（3.4） 先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按 对数螺线航行，即可追上潜艇。 对数螺线航行，即可追上潜艇。
一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了 例3 一个半径为 的半球形容器内开始时盛满了 的小孔在t=0时刻 水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在 时刻 但由于其底部一个面积为 被打开，水被不断放出。 被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共 需要多少时间？ 需要多少时间？ 以容器的底部O点为 原点，取坐标系如图3.3所示 所示。 解: 以容器的底部 点为 原点，取坐标系如图 所示。 时刻容器中水的高度， 令h(t)为t时刻容器中水的高度，现建立 为 时刻容器中水的高度 现建立h(t)满足的微分 满足的微分 方程。 方程。 设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律， 设水从小孔流出的速度为 ，由力学定律，在不计水 即： dh = 0.6 S 2hg 2 的内部磨擦力和表面张力的假定下， 的内部磨擦力和表面张力的假定下，有： dt π [ R 2 ( R h) ]
l
θ(0) = 0,θ (0) = θ 0
θ l
M P Q mg 图3-1
我方巡逻艇发现敌方潜水艇。 例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了 我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩 我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最 60 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60 30节而巡逻艇最大航速为60节 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜 水艇。 水艇。 这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形： 这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形： 敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜， 敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 设巡逻艇在A处发现位于 处的潜水艇 取极坐标， 设巡逻艇在 处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B 处发现位于 处的潜水艇， 为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方 为极点， 为极轴， 为极轴 程为r=r(θ)，见图 。 程为 ，见图3-2。 A1 dr ds dr 由题意， 由题意， = 2 ，故ds=2dr ds dt dt
3 2 5 2
dV = π0.6dh 2 gh dt r 2 S = sν 0 π
R
∫
y R r h
3 2
4 π 2 14π R =π [ R ( R h) 2 ]dh 0.6S 2 ghdt Rh = h 0 = R 5 0.6 S 2 g 3 9S 2 g
5 2
O S 图3-3
x
微分方程建模的几个简单实例 在许多实际问题中， 在许多实际问题中，当直接导出变 量之间的函数关系较为困难， 量之间的函数关系较为困难，但导出包 含未知函数的导数或微分的关系式较为 容易时， 容易时，可用建立微分方程模型的方法 来研究该问题， 来研究该问题， 本节将通过一些最简单的实例来说 明微分方程建模的一般方法。 明微分方程建模的一般方法。在连续变 量问题的研究中， 量问题的研究中，微分方程是十分常用 的数学工具之一。 的数学工具之一。
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的 变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是 微分方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的 间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方 程。 求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性 理论方法。
建立微分方程模型的方法 （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。