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高中数学论文

★三大角的统一理解:
、 、 、
其从上述梳理完全可以看出其本质特征:这里的“空间角”的求法,完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影,即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积,而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图,学生完全可以达到“系统化”和“自主化”,因为直角三角形中的三角函数定义,他们太熟悉了!即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”,那学习就会水到渠成!
如图所示:若直线l1与直线l2是两异面直线,求两异面直线的距离。
略解:在两直线上分别任取两点A、C、B、D,构造三个向量 ,记与两直线的公垂线共线的向量为 ,则由 ,得 ,则它们的距离就可以理解为: 在 上的投影的绝对值,即: 。
★三大距离的统一理解:
(点面距)、 (异面距)、 (点线距之一)、
且 (点线距之二)、
【关键词】:数量积向量角度距离
高中数学教材中首次出现“向量和导数”的引入。我认为其目的很明确:为研究函数、空间图形,提供新的研究手段,即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”,只有在深刻理解的基础上才能用好,而要想用活,这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识,丰富知识网络,形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。例如全日制普通高级中学教科书《数学·第二册(下B)》P33中,关于空间向量的数量积有这样三条性质:
由已知 可得 , ,又 平面 ,从而 与平面 所成的角为 ,又 , , ,从而易得
(I)因为 所以
,易知异面直线 所成的角为
(II)易知平面 的一个法向量 ,
设 是平面 的一个法向量, 由 即
所以
即平面 与平面 所成的二面角的大小(锐角)为
(III)点 到平面 的距离,即 在平面 的法向量 上的投影的绝对值,所以距离 = 所以点 到平面 的距离为
(二)性质的“知识链”
对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题,我们的学生可以说是欣喜若狂啊,因为学生觉得这种方法好!可操作性强!(只要能建系,有坐标就行!)但在实际应用中,学生觉得这些结论不易理解,加上这些结论只能逐步形成和完善,靠死记硬背吧,今天记了明天又忘了!等到用时,仍是“生硬、呆板”,甚至张冠李戴。如何突破这一问题?我认为其根本原因是:在学生的认知结构里,这一性质未能如愿地形成“知识链”。那么,这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢?

例2、(2005年重庆(理科)高考第20题)
如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,E为棱CC1上异于C、C1的一点,EA⊥EB1,已知AB= ,BB1=2,BC=1,∠BCC1= ,求:
(Ⅰ)异面直线AB与EB1的距离;
(Ⅱ)二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.
解:(I)以B为原点, 、 分别为y、z轴建立空间直角坐标系.由于BC=1,BB1=2,AB= ,∠BCC1= ,在三棱柱ABC—A1B1C1中有
(1) ,(2) ,(3) 。
作为“工具性”,性质(2)(3)比较明显,会立即得到充分的应用。可是对于性质(1),当时,在上新授课时我总认为:这条性质没有什么“本质上”的用处,有点像“房间里的摆设”——配角。但是随着时间的推移,笔者发现了她的奥妙之处:在后继的有关空间问题中的“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途,并带来意想不到的“知识链”反应,极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵。本文便梳理和佐证这一认知,以飨读者。
1.2线面角 的求法的新认识:
(其中 为平面 的一个法向量),此结论重新可以理解为: ,此时OP又可以看作是 在 上的投影,即 与 方向上的单位向量 的数量积 , ,故 (这里刚好满足三角函数中正弦的定义:对边比斜边)。
1.3二面角的平面角 的求法的新认识:
= (其中 是两二面角所在平面的各一个法向量)此结论重新可以理解为: (这里刚好满足三角函数中余弦的定义:邻边比斜边)。
(2)它又是空间三大距离(即点线距、点面距、异面直线间距离)用向量法求解的“联系点”。
空间中有七大距离(除球面上两点间的距离外)基本上可转化为点点距、点线距、点面距,而点线距和点面距又是重中之重!另外两异面直线间的距离,高考考纲中明确要求:对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。教材按排中引进了向量法来解决距离问题,也给问题的解决带来新的活力!不用作出(或找出)所求的距离了。
(一)性质的产生与内含
已知向量 和轴l, 是l上与l同方向的单位向量,作点A在l上的射影 ,作点B在l上的射影 则 叫向量 在轴l上或在 方向上的正射影,简称射影。可以证明得, (证明略,图如下所示。)
此性质的内含理解有四点:
①结果是一个数量(本身含正负号);②其正负号由向量 所成角的范围决定;③加上绝对值 便是一条线段长度(这里 刚好组成一个直角三角形的两条直角边);④可以推广为求一条线段在另一条直线上的正射影(此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线)。
其本质特征是:一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影,也即数量积此性质的直接应用。
由上述的剖析过程不难再看出:空间中的三大角与三大基本距离的计算,都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中,体现在这个公式结构的“统一美”之中,把问题的本质揭示得“淋漓尽致”,而又不失自然!这给“立体几何”中向量的工具性的体现,增色了几分美感与统一感!
若不存在有一条与l相交的直线时,
我们可以先取l上的一个向量 ,再利用 来解,即: ,而数量OB可以理解为 在l上的向量 的投影,也即为: 。
2.3异面直线间距离求法的新认识:
从这几年的高考《考纲说明》观察,我们不难发现,对异面直线间距离的考查本意不能太难,但若出现难一点的考题,命题者又能自圆其说的新情况。实际上,这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法:只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。那也就是说,在不要作出公垂线(也许学生作不出!)的情况下,也可以求出它们的距离的!那就是用向量法!
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山重水复疑无路,柳暗花明又一村
——对一个数量积性质的新认识
张广平
【摘要】:教学活动要遵循内在规律,只有当一切外在事实(知识)通过教师的主导作用,最后被主体(学生)认识之后,这外在东西才会为主体真正占有,这种转化只有在参与实践中才能体会并重新构建、形成知识体系。我们的教材中的好多知识表面上是孤立的,若我们的的教师在引领学生认知这些内容的同时,有“意识”的揭示这种“知识链”,内化我们学生的理解,让学生对知识的构建“水到渠成”!这不失为一种有效教学的好途径。
(三)性质的应用
例1、(2005年山东省(理科)高考第20题)
如图,已知长方体
直线 与平面 所成的角为 , 垂直 于
, 为 的中点.
(I)求异面直线 与 所成的角;
(II)求平面 与平面 所成的二面角;
(III)求点 到平面 的距离.
解:在长方体 中,以 所在的直线为 轴,以 所在的直线为 轴, 所在的直线为 轴建立如图示空间直角坐标系;
2.1点面距求法的新认识:
(其中 为平面 的一个法向量),此结论重新可以理解为: ,即 在 上的投影,即 与 方向上的单位向量 的数量积 。
2.2点线距求法的新认识:
1)新认识之一:
如图,若存在有一条与l相交的直线时,就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量 ,则点P到l的距离 。
2)新认识之ห้องสมุดไป่ตู้:
B(0,0,0),A(0,0, ),B1(0,2,0),A1(0,2, )
,设


则 得, (令y=1),故 =1
(II)由已知有 故二面角A—EB1—A1的两个半平面的法向量为 。

通过上述几个高考题的分析,我们不难看出:立体几何中的几何法的“难在找(或作)所求的角度或距离”,通过这个数量积的性质的转化(方法的转化与知识之间的转化),其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中,从而也焕发了数量积这条性质的奥妙之处,也就更体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。因为”程序化”的计算使我们的学生的“信心”倍增!同时让我们的学生也懂得了“知其所以然”,再也不用为记这一个“好结论”而烦恼了!
(1)它是空间三大角(即线线角、线面角、二面角的平面角)用向量法求解的“对接点”。
1.1线线角 的求法的新认识:
我们把这两条线赋予恰当的两个向量,问题就化归为两个向量的夹角(两个向量所成的角的范围为 ),即 ,我们能否加以重新认识这个公式呢?如图,
,此时OB1可以看作是 与 方向上的单位向量 的数量积 ,这就是由数量积这条性质滋生而成的;故此结论重新可以理解为: (这里刚好满足三角函数中余弦的定义:邻边比斜边)。
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