勾股定理（提高）
学习目标
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长.
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
要点梳理
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为
，斜边长为，
那么.
要点诠释：
（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：，，. 要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为的线段.
典型例题
类型一、勾股定理的应用
1、如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积．
【变式】如图所示，在△ABC中，∠A＝45°，，，求BC的长．
2、已知直角三角形斜边长为2，周长为，求此三角形的面积．
3、如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点
F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
类型二、利用勾股定理解决实际问题
4、如图所示，在一棵树的10高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20处的池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)
巩固练习
一.选择题
1．如图，数轴上点A所表示的数为，则的值是（）
A． B． C． D．
2．若直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值为( )
A. 5
B.
C. 5或
D. 7
3. 如图所示，折叠矩形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB＝8，BC＝10，EC的长为（）．
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，矩形AOBC中，点A的坐标为（0，8)，点D的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落在
边OB上E处，那么图中阴影部分的面积为（）
A. 30 B．32 C．34 D．16
5．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2 , ，之间的距离为3 ,则AC的长是（）A．B．C．D．7
6. 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12则, △ABC的周长为（）
A. 42
B. 32
C. 42或32
D. 37或33
二.填空题
7．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．
8. 如图，将长8，宽4的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为__________.
9．如图，在的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，这样的点C共______个．
10. 如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为__________.
11. 已知长方形ABCD，AB＝3，AD＝4，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_______________.
12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是则______．
三.解答题
13. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90º，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，AD＝2，BE＝5，求AB的长．
14. 现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.
15. 将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．
（1）当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长；
（2）当点PD＝BC时，求此时∠PDA的度数.。