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V(x))un (x)
Enun (x)
令 则
un (x) Rn (x) iIn (x) （ (Rn (x), In (x) 都是实函数）
(
2 2m
d2 dx 2
V(x))Rn (x)
EnRn (x)
(
2 2m
d2 dx 2
V(x))In (x)
EnIn (x)
这表明 R n 和 I n 都是能量为 E 的解。但对束缚态，没有简并，所以只有一个解，因而 R n 和 I n
1
（1） 湮灭算符 aˆ 的本征态 ...... 错误!未定义书签。 （2） 相干态的性质 .............. 错误!未定义书签。
第三章 一维定态问题
现将所学得的原理和方程应用于最简单的问题：一维、不显含时间的位势，即一维定态问
题。
当
V(r,t) V(r)
则薛定谔方程 i (r,t) Hˆ (r,pˆ )(r,t) 有特解 t E(r,t) uE(r)eiEt /
§3.1 一般性质
设粒子具有质量 m，沿 x 轴运动，位势为 V(x) 。于是有
(
2 2m
d2 dx 2
V(x))uE (x)
Eu E (x) 。
由于 uE (x) 是满足一定条件或边条件下的解，所以不是所有 E 都有非零解。
（1）定理 1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的
简并度（degeneracy）：一个力学量的测量值，可在 n 个独立的（线性无关的）波函
而 uE (r) 满足 Hˆ (r,pˆ )uE(r) Eu E(r)
事实上，当 V(r) 有一定性质时，如 V(r) V(x) V(y) V(Z) 或 V(r) V(r) 时，三维
问题可化为一维问题处理，所以一维问题是解决三维问题的基础。
在解一维问题之前，先介绍一些解的性质。
需要指出，现讨论的 V(x) 是实函数，从而保持不含时间的 S.eq 中 E 为实数。
从而有
u2u1(x) u1u2(x) 0
若 u2(x)u1(x) 不是处处为零，则有
u2 u2
u1 u1
(ln u2 )
(ln u1 )
从而有
u1(x) Au 2(x) 。
二者仅差一常数因子，所以是同一波函数。也就是说，一个 E 只对应一个独立的波函数，
因此，是不简并的。
应当注意 ⅰ. 分立能级是不简并的。而对于连续谱时，若一端 u 0 ，那也不简并。但如
第三章
一维定态问题
第三章 目 录
§3.1 一般性质....................................... 2 （1）定理 1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简 并的...................................... 2 （2）不同的分立能级的波函数是正交的。 .......... 4 （3）振荡定理 .................................. 4 （4）在无穷大位势处的边条件 .................... 5
§3.2 阶梯位势....................................... 6 §3.3 位垒穿透....................................... 8
（1） E<V0 ..................................... 9 （2） E V0 ................................... 10 （3）结果讨论 ................................. 11 §3.4 方位阱穿透.................................... 11 §3.5 一维无限深方位阱 .............................. 12 （1）能量本征值和本征函数 ..................... 12 （2）结果讨论 ................................. 13 §3.6 宇称，一维有限深方势阱，双 δ 位势.............. 14 （1）宇称 ..................................... 14 （2）有限对称方位阱 ........................... 15 （3） 求粒子在双 位阱中运动 ................... 18 §3.7 束缚能级与反射振幅极点的关系 ....错误!未定义书签。 （1） 半壁δ位阱的散射 .......... 错误!未定义书签。 （2）有限深方位阱 ............... 错误!未定义书签。 §3.8 一维谐振子的代数解法 ........... 错误!未定义书签。 （1）能量本征值 ................. 错误!未定义书签。 （2） 能量本征函数 .............. 错误!未定义书签。 （3）讨论和结论 ................. 错误!未定义书签。 §3.9 相干态 ......................... 错误!未定义书签。
(2)
u2 (1) u1 (2)
2
从而得
u2
d2 dx 2
u1(x)
u1
d2 dx 2
u 2 (x)
0
于是
u2u1(x) u1u2 (x) c (c 是与 x 无关的常数)。
对于束缚态 x ,ui 0
（或在有限区域有某值使 u2u1(x) u1u2 (x) 0 ）
所以 c 0 ，
两端都不趋于 0（如自由粒子），则有简并。
ⅱ．当变量在允许值范围内（包括端点），波函数无零点，就可能有简并存在。
（因常数 c≠0）。
ⅲ．当 V(x) 有奇异点，简并可能存在。因这时可能导致 u2 (x)u1 (x) 处处为零。
推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然可保留一相因子）。
证
(
2 2m
d2 dx 2
数中测得，则称这一测量值是具有 n 重简并度。
（某能量本征值有 n 个独立的定态相对应，则称这能量本征值是 n 重简并的）。
证：假设 u1, u 2 是具有同样能量的波函数
(
2 2m
d2 dx 2
V(x))u1 (x)
Eu 1 (x)
(1)
(
2 2m
d2 dx 2
V(x))u 2 (x)
Eu
2 (x)