和倍差倍问题适用学科小学竞赛适用年级六年级适用区域全国课时时长（分钟）60知识点和倍差倍应用题教学目标知识技能目标：提高学生解决典型应用题的能力。
过程方法目标：灵活掌握和差倍公式应用。
情感态度价值观目标：培养学生解决实际生活问题能力。
教学重点提高学生解决习题能力教学难点灵活掌握公式知识点并解决问题教学过程教学过程一、复习预习差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．差倍问题的特点与和倍问题类似。
解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。
和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。
和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．二、知识讲解差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－1)=1倍数(较小数)1倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下：方法一： (和+差)÷2=大数和-大数=小数方法二： (和-差)÷2=小数和-小数=大数年龄问题的和差与差倍问题主要利用的年龄差不变。
和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是：和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数或和一小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数：l份数×(倍数－1)=两数差.解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系三、例题精析【例题1】李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？【答案】27只【解析】引导学生画图，但是一定要强调差所对应的份数，这样我们就可以求一份量（一倍量），从而解决题目．与18只相对应，这样就可以求出一倍数也就是鹅的只数，求出了鹅的只数，鸭的只数就容易求出来了．鸭与鹅只数的倍数差是312÷= (只)，鸭-=（倍），鹅有1829有9327⨯=(只)【例题2】兄弟俩今年的年龄和是30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半．问：哥哥今年几岁？【答案】18岁【解析】假设他们的年龄差是1份，由“哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半”可知弟弟的年龄是2份，哥哥的年龄是3份，所以每一份是30(23)6÷+=(岁)，那么哥哥的年龄是6318⨯=(岁)．【例题3】姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术、英语两门练习共用了44分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟？【答案】25分钟“姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟”，【解析】由此可以推出妹妹做算术练习比做英语练习少用时间：48-42=6（分钟）。
所以妹妹做英语练习的时间为：（44+6）÷2=25（分钟）。
【例题4】在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是240，而减数是差的5倍．求差是多少？【答案】20【解析】引导学生分析被减数、减数、差三者之间的关系，并认识它们之间的转化．我们先看下面一道简单的减法算式：15－ 10 = 5被减数减数差被减数、减数、差这三个数有下面的关系：被减数=差+减数，如15=5+10这道题中，被减数、减数、差的和是15+5+10=30，30是被减数的2倍，30215÷=，就得被减数，也就是减数与差的和，这样题目就转化为：“已知减数与差的和是15，减数是差的2倍”，按照和倍问题的解题方法，就可求出差是：15(21)5÷+=．列式：减数与差的和是多少？ 2402120÷=差是多少？120(51)20÷+=【例题5】有几个同学想称一下体重，可是秤的秤砣不齐，只能称50千克以上的重量，他们只好每人都和其他人合称一次，共得到以下10个数据（单位：千克）：75、78、79、80、81、82、83、84、86、88．问：⑴有几名同学？⑵他们的重量各是多少千克？【答案】有5个同学，他们的体重分别为37千克、38千克、41千克、43千克、45千克．【解析】⑴首先2554210C=⨯÷=，也就是说5个同学两两合称才恰好需要称10次，所以有5个同学．⑵设这5个同学的体重从小到大依次为A、B、C、D、E．则有75A B+=，78A C+=，88D E+=，86C E+=；()757879808182838486884204A B C D E++++=+++++++++÷=．则204758841C=--=千克；784137A=-=千克；864145E=-=千克；753738B--=千克；884543D=-=千克．即他们的体重分别为37千克、38千克、41千克、43千克、45千克．四、课堂运用【基础】1.哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁．问：哥哥现在多少岁？【答案】18岁【解析】假设弟弟当年年龄是1份，那么哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄(哥哥当年年龄)，哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄(哥哥当年年龄)就刚好是2份，那么兄弟现在的年龄和是325÷=(岁)，哥哥现在是+=份，一份就是3056⨯=(岁)．63182.妈妈的年龄是小红的5倍，奶奶的年龄比小红大9倍，已知奶奶比妈妈大35岁，求三人年龄各多少岁？【答案】70岁【解析】奶奶的年龄比小红大9倍，妈妈的年龄是小红的5倍，那么，妈妈的年龄比小红大（5-1）倍，奶奶的年龄比妈妈大（9-4）倍，把小红的年龄看作一倍数，则小红的年龄为：35÷（9-4）=7（岁），妈妈的年龄是：7×5=35（岁），奶奶的年龄是：35+35=70（岁）3.两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的5倍，甲书架比乙书架存书多120本，则乙书架存书多少本？【答案】30本【解析】多的120本相当于乙书架的4倍，则乙书架的书为：120430÷=（本）．4.某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，则参加室内、室外活动的共有多少人?【答案】870人【解析】原来室外、室内活动人数相差480人，现把室内的50人改为室外活动，这样室外活动人数比室内人数多480502580+⨯=(人)，这时室外活动人数正好是室内人数的5倍，580人相当于现在室内活动人数的514-=(倍)，这样可先求出现在室内活动人数为5804145⨯+=人．÷=，再求出室内、外人数之和：145(51)8705.师、徒两人共加工105个零件，师父加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师父和徒弟各加工零件多少个？【答案】80个【解析】把徒弟加工的个数看作1份数，师父加工的个数就比3份数还多5个，如果师父少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为(1055)-个，就可以求出师父和徒弟各加工多少个了．徒弟做了：100(31)25÷+=(个)，师父做了：253580⨯+=(个)．【巩固】1.三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。
【答案】49人【解析】先将一、二两个小组作为一个整体，这样就可以利用基本和差问题公式得出第一、二两个小组的人数和，然后对第一、二两个组再作一次和差基本问题计算，就可以得出第一小组的人数。
一、二两个小组人数之和=（180+20）/2=100人，第一小组的人数=（100-2）/2=49人。
2.甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多19千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克？【答案】11千克【解析】从甲筐取出放入乙筐，总数不变。
甲筐原来比乙筐多19千克，后来比乙筐少3千克，也即对19千克进行重分配，甲筐得到的比乙筐少3千克。
于是，问题就变成最基本的和差问题：和19千克，差3千克。
（19+3）/2=11千克，从甲筐取出11千克放入乙筐，就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克。
3.一个三层书架共放书108本．上层比中层多放11本，下层比中层少放5本，上、中、下三层各放书多少本?【答案】45（本），34（本），29（本）【解析】中：（108-11+5）÷3=34（本），上：34+11=45（本），下：34－5=29（本）。
评析：（1）此题用画线段图的方法会更直观，易懂。
（2）这道题原题的解法是先求中层的书，这样比较简单.为了更好的锻炼学生对这道题的理解，建议老师可以让学生自己练习先求上层的书的数量，或者先求下层书的数量4.被除数、除数、商3个数的和是212。
已知商是2，被除数和除数各是多少？【答案】140,70【解析】由商是2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的2倍。
把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：210÷（2+1）=70；被除数为：70×2=140。
5.两个正整数相除，商是7，余数是5，如果被除数、除数都扩大到原来的4倍，那么被除数、除数、商、余数的和等于1039．原来的被除数是，除数是．【答案】222,31【解析】被除数、除数都扩大到原来的4倍，它们的商还是7、余数为5420⨯=，所以被除数与除数的和为10392071012--=，而此时被除数比除数的7倍大20，所以除数为(101220)(71)124-÷+=，所以原来的除数为124431÷=，被除数原来为3175222⨯+=．【拔高】1.有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张．相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数．老师把这l2张卡片发给6名同学，每人得到两张颜色不同的卡片．然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和．六名同学交上来的答案分别为：92，125，133，147，158，191．老师看完6名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了．问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？【答案】35.【解析】根据题意可知，6名同学每人都得到给定的4个数中的某2个，而从4个数中选取2个不同的数共有246C =种不同的方法．而6名同学所给的6个答案中只有1个错误，有5个是正确的，而且这5个正确的答案互不相同，所以这5名同学所拿到的两个数也互不相同．而总共只有6种不同情况，所以给出错误答案的那名同学所拿到的两个数与其他5名同学所拿到的两个数的情况也都不相同．那么本题相当于：有四个数a 、b 、c 、d (a b c d <<<)，每次从中取出两个数，计算它们的和，得到六个和：92，125，133，147，l58，l91，其中只有一个是错误的，求a 的值．由取法可知，得到的六个和可以两两匹配，即a b +与c d +，a c +与b d +，a d + 与b c +，互相匹配的两个和的和是相等的，都等于a b c d +++．而题中的6个数中，92191125158283+=+=，可见283a b c d +++=，那么六个和数中133和147都可能是错误的．如果147是错误的，那么133是正确的，另一个正确的和数为283133150-=，根据a 、b 、c 、d 的大小顺序，可得92a b +=，191c d +=，125a c +=，158b d +=，而a d +与b c +分别为133和150．再由15892250a b b d +++=+=得2502a d b +=-，所以a d +是偶数，那么150a d +=，得50b =，进而得925042a =-=．即四种颜色卡片上所写各数中最小数是42．如果133是错误的，那么147是正确的，同样分析可知，此时四种颜色卡片上所写各数中最小数是35．2.食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到10种不同重量（单位：千克）：47，50，51，52，53，54，55，57，58，59．问：这五只羊各重多少千克？【答案】C=28千克，22A =千克，30E =千克，25B =千克，29D =千克．【解析】可以设定羊的重量从轻到重分别为A ，B ，C ，D ，E ．则47A B +=，59D E +=．同时不难整体分析得到()475051525354555758594134A B C D E ++++=+++++++++÷=千克．则134475928C =--=千克．不难有50A C +=，58E C +=．则22A =千克，30E =千克，25B =千克，29D =千克．3.在期末考试中，哥哥的数学成绩比语文高7分，弟弟的数学成绩是语文的67．又知道弟弟的数学成绩比哥哥的数学成绩的56高4分，总成绩比哥哥低3分，那么弟弟的语文成绩是多少分？【答案】98分【解析】把弟弟的语文成绩设为x 分，则弟弟的数学成绩是67x 分，哥哥的数学成绩为66475x ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭分，哥哥语文成绩为664775x ⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭分．那么由总成绩的关系可以列式：6663427775x x x ⎛⎫++=-⨯⨯- ⎪⎝⎭，化简得481055x =+，则98x =． 所以弟弟的语文成绩是98分．4.甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的3倍．那么甲、乙两个小朋友共有多少粒糖？【答案】24粒【解析】总体和部分，比较分析．甲给乙一定数量糖后，甲占总数的23，乙给甲一定数量后，甲占总数的34．则前后变化3214312-=．又由于前后变化为2倍的“同样数量的糖”，所以每次变化1121224÷=，所以糖的总数能被24整除．由于每袋糖不超过20粒，则糖的总数不超过40粒，又是24的倍数，则只能是24．5.在一次考试中，甲、乙两人考试结果如下：甲答错了全部试题的13，乙答错了7道题，甲、乙都答错的题目占全部试题的15，则甲、乙两人都答对的题目最少多少道？ 【答案】6道 【解析】容斥原理．甲答错、乙答对的题占全部试题的1123515-=，那么甲、乙都答对的题目有1315的全部试题减去7道乙答错的题目．可见全部试题越少，甲、乙都答对的题目就越少．则全部试题至少有15道，甲、乙两人都答对的题目最少有13157615⨯-=道． 课程小结解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系． 知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，年龄问题的和差与差倍问题主要利用的年龄差不变。