函数)且Φ(a)＋Φ(－a)＝1. 例1 在标准正态分布中，φ(x)＝
12πe－x22.
(1)求 Φ(0)；
Байду номын сангаас
(2)若 Φ(2)≈0.977，求 P(x＞2)；
(3)若 Φ(1)≈0.841，求 P(－1＜x＜1)．
【思路点拨】 Φ(a)＝P(x＜a)，可利用φ(x)关于y 轴的对称性求面积． 【解】 (1)∵Φ(a)＋Φ(－a)＝1， 令 a＝0，∴2Φ(0)＝1，∴Φ(0)＝12. (2)∵Φ(2)＋Φ(－2)＝1， ∴Φ(－2)＝1－Φ(2)＝1－0.977＝0.023， P(x＞2)＝P(x＜－2)＝Φ(－2)＝0.023.
例2 内科医生对某病人进行了血压的测量，用X 表示测量的收缩压(单位：mmHg)．设X服从正态 分布，如果病人当时的真实收缩压是μ.
(1) 当 血 压 计 的 测 量 标 准 差 是 1 ， 计 算 P(|x － μ|≤1.96)； (2) 当 血 压 计 的 测 量 标 准 差 是 1.5 ， 计 算 P(|x － n|≤2.94)． 【思路点拨】 P|x－σ μ|≤1.96＝0.95， 即 P(|x－μ|≤1.96σ)＝0.95.
3．用 E(X)＝μ 表示测量值 X 的数学期望，用 σ 表 示测量的标准差，则有如下的结果 P|X－σ μ|≤1.96 ＝__0_.9_5__.我们称随机变量 X 服从数学期望值 μ， 标准差为 σ 的_正__态__分__布___．
考点一 利用标准正态分布曲线求概率
在标准正态分布中，正态密度曲线关于y轴对称(偶
(3)Φ(1)＋Φ(－1)＝1， ∴Φ(－1)＝1－Φ(1)＝1－0.841＝0.159， P(x＜－1)＝P(x＞1)＝Φ(－1)＝0.159. ∴P(－1＜x＜1)＝1－P(x＜－1)－P(x＞1) ＝1－2Φ(－1)＝1－2×0.159＝0.682. 【思维总结】 Φ(a)表示概率P(x＜a)，故P(x1＜ x＜x2)＝Φ(x2)－Φ(x1)．
练习 在本例中，求P(1＜x＜2)． 解：Φ(2)＝P(x＜2)≈0.977， Φ(1)＝P(x＜1)≈0.841， ∴ P(1 ＜ x ＜ 2) ＝ Φ(2) － Φ(1)≈0.977 － 0.841 ＝ 0.136.
考点二 用正态分布研究实际问题
若已知实际问题的 μ、σ，用 P|X－σ μ|≤1.96＝0.95 可求问题的 E(X)或 σ.
失误防范 1．标准正态分布由μ，σ唯一确定． 2．P(x＜a)＝1－P(x＞a)．
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【解】 (1)∵σ＝1，∴P(x－μ)≤1.96＝0.95， (2)当σ＝1.5时， |x－μ|≤1.96σ，即|x－μ|≤2.94， ∴P(|x－n|≤2.94)＝0.95.
小结
失误防范 1．根据标准正态分布下的某范围的概率，充分利 用图形的对称性． 2．P(b＜x＜a)表示由直线x＝a，x＝b及φ(x)与x轴 围成的封闭图形的面积．
83正态分布曲线
新课教学
1．标准正态密度曲线的φ(x)＝__12_π_e_－__x_22__. 2．标准正态密度曲线的特点： (1)曲线关于__y_轴___对称； (2)φ(x)在_x_＝__0__ 达到最大值； (3)曲线和x轴所夹的面积等于__1__； (4)用 Φ(a)表 示 曲 线 阴影 部 分的 面 积 ， 则Φ(a)＋ Φ(－a)＝1____.