二次型的几何分类及其应用田金慧内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。

其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。

最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。

在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。

关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用1导言在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。

事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。

学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。

因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。

但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。

本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。

当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。

2 二次型及其标准型所谓二次型就是一个二次齐次多项式。

定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次函数22212111222(,,,)n nn n f x x x a x a x a x =+++n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+（1）称为n 元二次型，简称二次型【2】。

当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。

本文仅讨论实二次型。

若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成12,1(,,,)nT n ij iji j f x x x a x xX AX ===∑ （2）其中，111212122212n n n n nn a a a a a a A aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，12n x x X x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵也把f 叫做对称矩阵A 的二次型；同时A 的秩也称为二次型f 的秩。

定义2.2 仅含有平方项的二次型222121122(,,,)n n n f y y y d y d y d y =+++ （3）称为二次型的标准形。

对于二次型，主要问题是：如何寻求一个可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=n nn n n nnn yc y c y c x y c y c y c x221112121111 （4） 将其化为标准型。

定理 2.1 任意n 元实二次型12(,,,)T n f x x x X AX =都可经正交变换X PY =化为标准形12221122T n n n f y y y Y Y λλλλλ⎛⎫ ⎪=+++=⎪ ⎪⎝⎭其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的特征值。

例2.1 利用正交变换化二次型1212(,)2f x x x x =化为标准型。

解 二次型f 的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110A特征多项式为：()()211111E A λλλλλλ--==-=-+-所以A 的特征值为1,121-==λλ。

当11=λ时，解()10E A x -=得线性无关的特征向量()T1,11=ξ，单位化得T P )1,1(211=。

当12-=λ，解()10E A x --=得线性无关的特征向量()T1,12-=ξ，单位化得T P )1,1(212-=。

令()12,P P P ⎫⎪⎪== 则P 为正交矩阵。

于是，正交变换X PY =，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212121212121y y x x 化二次型为标准型2221y y f -=二次型变换前后的几何描述如图1。

图1 二次型变换前（左图）、后（右图）3 二次型的分类对二次型进行分类，在理论和应用上都有重要的意义。

依二次型的正定性，可以将二次型分为以下几类：正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型和不定二次型等。

3．1 正定二次型和负定二次型定义3.1.1 设实二次型12(,,,)T n f x x x X AX =，（i ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,都有0),,,(21>n c c c f ，称该二次型为正定二次型，且称矩阵A 为正定矩阵。

（ii ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ,都有12(,,,)0n f c c c <，称该二次型为负定二次型，且称矩阵A 为负定矩阵。

二次型正定与负定的几何描述如图2、图3。

图2 一元、二元正定二次型图3一元、二元负定二次型定理3.1.1 对于实二次型12(,,,)T n f x x x X A X =，下列条件等价：（i ）f 是正定的；（ii ） f 的标准型是2221122(0,1,2,,)n n i d y d y d y d i n +++>=；（iii ） 存在可逆实矩阵C ，且12(0,1,2,,)T i n d d C AC d i n d ⎛⎫⎪⎪=>= ⎪ ⎪⎝⎭；（iv ） 存在可逆实矩阵C ，使得C C A T =； （v ） A 的全部特征值皆大于零； （vi ） A 的各级顺序主子式皆大于零，即11110,(1,2,,)kk k kk a a A k n a a =>=。

定理3.1.2 对于实二次型=),,(21n x x x f x A x T ，下列条件等价： （i ） f 是负定的；（ii ） f 的标准型是2221122(0,1,2,,)n n i d y d y d y d i n +++<=;（iii ） 存在可逆实矩阵C ，使得C C C E C A T T =-=)(； （iv ） A 的全部特征值皆小于零；（v ） A 的奇数阶顺序主子式为小于零，而偶数阶主子式为大于零[3]，即1111(1)(1)0,(1,2,,)kk kk k kk a a A k n a a -=->=。

例3.2.1 判别二次型222123123121323(,,)55484f x x x x x x x x x x x x =+++--的正定性。

解 二次型f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=524212425A01,01,052221121111>=>=>=A a a a a a根据定理3.1.1，知f 为正定二次型。

f 的几何描述如图4。

图4 f 的三维切面图例3.1.2 判别二次型222(,,)56444f x y z x y z xy xz =---++的正定性。

解 二次型f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=402062225A080,026,052221121111<-=>=<-=A a a a a a根据定理3.1.2，知f 为负定二次型。

f 的几何描述如图5。

图5 f 三维切面图3．2 半正定二次型和半负定二次型定义3.2.1 设实二次型12(,,)T n f x x x X AX =，（i ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，都有12(,,,)0n f c c c ≥，称该二次型为半正定二次型，且称矩阵A 为半正定矩阵。

（ii ） 如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，都有12(,,,)0n f c c c ≤，称该二次型为半负定二次型，且称矩阵A 为半负定矩阵。

二次型半正定与半负定的几何描述如图6（二元二次型）。

图6二元半正定（左图），二元半负定（右图）定理3.2.1 对于实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，下列条件等价：（i ） f 是半正定的；（ii ） f 的标准型是2221122(0,1,2,,)n n i d x d x d x d i n +++≥=；（iii ） 存在可逆实矩阵C ，且12(0,1,2,,)T i n d d C AC d i n d ⎛⎫⎪⎪=≥= ⎪ ⎪⎝⎭；（iv ） 存在实矩阵C ，使得C C A T =； （v ） A 的全部特征值皆大于或等于零； （vi ） A 的所有主子式皆大于或小于零。

定理3.2.2 对于实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，下列条件等价[3]：（i ） f 是半负定的；（ii ） 存在实矩阵C ，使得C C C E C A T T =-=)(； （iii ） A 的全部特征值皆小于或等于零；（iv ） A 的奇数阶主子式皆小于或等于零，而偶数阶主子式皆大于或等于零[3]，即),,2,1(,0)1(1111n r a a a a rrr rr=≥-。

3．3 不定二次型定义3.3.1 设实二次型12(,,)T n f x x x X A X =，如果f 既不是正定的，也不是负定的，则称该二次型为不定二次型。

例3.3.1 判定二次型2222(,),0,0x y f x y a b a b=->>的正定性。

解 易知所给二次型为不定二次型，其几何描述如图7。

图7 3,4a b ==时的几何图形例3.3.2 判定二次型(,)f x y xy =的正定性。

解 易知所给二次型为不定二次型，其几何描述如图8。

图84 二次型理论在二次曲面分类上的应用4．1 理论分析二次曲面方程的一般形式[4]为2221122331212121232222220a x a y a z a xy a xz a yz b x b y b z c +++++++++= （5）令)(ij T a A A ==，(,,)T U x y z =，123(,,)T B b b b =，则上述方程可以写为20T T U AU B U c ++= （6）其中(,,)T f x y z U AU =就是一个二次型。