案例实验一控制大气污染问题【实验目的与要求】培养从实际管理问题中归纳建立线性规划模型的能力，熟练使用计算机软件求解线性规划模型，并利用模型结果对现实问题进行分析。

通过实验掌握线性规划模型的求解方法，了解影子价格、最优域、可行域、灵敏参数等概念的经济含义，以及其在现实管理中的作用。

独立完成实验，并得到正确的结果。

【实验内容与数据】N&L公司是一家全球著名的钢铁制造厂商，位于钢铁之城。

该公司目前雇佣了50,000名员工，是当地的主要劳动力雇佣者，因此整个城市都因这家公司而繁荣与发展起来，这里的人们也一直都认为凡是对公司有利的必然对整个城市有利。

但是现在人们的观点发生了一定的变化：公司锅炉中排放出的气体因未加治理，正破坏着城市的风貌并日益危及着城市居民的身体健康。

最近的公司一次股民选举产生了一个较为英明的新董事会，其中的董事会成员与城市官员和居民讨论如何处理空气污染的问题，他们一起制定出了很严格的大气排放质量标准。

所排放的气体中，三种主要的成分是：大气微尘、氧化硫和碳氢化合物。

新制定的排放气体质量标准要求公司降低这些污染气体的排放量，具体要求如表1-1所示。

董事会已经指示公司的管理人员召集工程人员，用最经济的方法降低污染气体的排放量。

公司的污染气体主要来自两个方面，一是铸生铁的鼓风炉，一是炼钢的敞口式反射炉。

在这两方面，工程师都认为最有效的降低污染的方法是：①增加烟囱的高度，②在烟囱中加入过滤装置，③在燃料中加入清洁的高级燃料。

三种方法都有其技术限制（例如，烟囱可增加的高度是有限的），但可以考虑在各自的技术限制内，采取一定程度的措施。

表1-2显示了在技术允许的范围内，最大限度地使用各种方法可以降低两个炉子污染气体的排放量。

为了方便分析，假设各种方法也可以在技术允许的范围内，采取一部分程度的实施，从而达到一定程度的减少污染气体的效果。

此外，各种方法在两个炉子上的实施比例可以不同，且在效果上也是互不影响的。

在分析了上面的数据之后，可以发现没有一种方法可以实现全部的降污要求，而另一方面，在两个炉子上都同时最大限度的使用各种方法的组合，会超额完成降污任务，但这样做的费用是昂贵的，不利于公司的产品保持竞争力。

因此，工程师认为，应该在考虑各种方法的成本与效益的基础上合理的组合各种方法。

此外，因为两个炉子的情况并不相同，所以针对两个炉子的治理方法也将不同。

表1-2 运用各种降污方法最大限度可减少的每种污染气体的年排放量（百万镑）实施分析每种方法的一年总成本，该成本包括运营和维护费用，以及因为使用降污方法而致使生产效率降低，进而减少了的收入。

此外，最大的成本是安装设备的启动成本。

为了使一开始的启动成本与今后的年成本可以相互比较，必须考虑货币的时间价值，将年成本折现。

这样可以生成下面的数据表，表1-3表示的是最大限度的使用各种方法估计的年成本。

并且，各种方法的使用成本与可获得的降污能力是成比例的，也就是说，要取得一定比例的降污效果，所实施方法的成本在总成本中占同样的比例。

表1-3 最大限度的使用各种方法估计的年成本（百万美元）【阶段性实验步骤一】现在，我们可以制定出降污规划的大致框架了，即这一规划必须确定在两个炉子上，使用哪几种方法，每种方法的实施程度。

假设，你被任命为管理科学小组的组长，管理层要求你以最小的成本实现降低各种污染气体的年排放量要求。

1. 建立线性规划模型。

2. 利用计算机软件求最优解。

【阶段性实验步骤二】现在，管理层希望能够在你的帮助下，进行一些深层次分析。

因为管理层对这几种治理方法都没有经验，所以使用各种方法的成本只是一个大致的估计，实际值可能在10%的范围内变动。

此外，表1-2中的数据还存在一些不确定性，尽管这些不确定性或许比表1-3中的要小一些。

表1-1中的数据是政策标准，但是，这些数据是在不知道成本的情况下确定的一些暂时性的数值，公司与政府的官员都认为，应该在成本与收益分析的基础上来确定最终的决策。

政府官员估算出如果将第一张表中的政策标准增加10%，对整个城市的价值是$3,500万美元。

因此政府决定，公司每提高10%的降污标准（表1-1中的所有数据，直到50%），可将获得$350万的降税。

最后，管理层对政策标准中各种污染气体的相对值还存在一点分歧，如表1-1所示，要求减少的大气微尘的数量还不到其他两种的一半，因此，有些人提出，是否减少这一差距。

而另一些认为应该增大差距，因为氧化硫和碳氢化合物的危害比大气微尘大得多。

最后，人们同意在获得最优的成本收益平衡解之后，再对这一点进行探讨，增加一种污染气体的数量同时减少另一种污染气体的数量，看看会有怎样的影响。

1. 判断线性规划模型中哪些成本参数是敏感系数，应该作进一步精确的估计。

注：在本案例中，若某成本参数最优域的下限大于该参数值的0.9倍，则该参数称为下限敏感系数；若某成本参数最优域的上限小于该参数值的1.1倍，该参数称为上限敏感系数，下限和上限敏感系数均称为敏感系数。

2. 对于每一种污染气体，求排放量减少一单位所引起的成本变化量。

排放量在多大的范围内变动，该成本变化量会保持不变。

3. 在保持总成本不变的前提下，政策中大气微尘标准的每一单位的变动，可能会引起氧化硫排放标准多大的变动，又或者会引起碳氢化合物排放标准多大幅度的变动？如果氧化硫和碳氢化合物同时因此而变动，且两者变动的幅度相同，该变动的幅度又是多少？【阶段性实验步骤三】1.假设以θ表示表1-1中标准的增加百分比，θ = 10, 20, 30, 40, 50，分别求出该修正的线性规划问题的最优解。

考虑税收上的优惠，管理者将会选择哪一个θ？2.根据上面计算出的θ，生成灵敏度报告，并重复【阶段性实验步骤二】中2和3问题的分析。

【实验报告】【阶段性实验步骤一】1.1 建立线性规划模型设六个决策变量j x (j=1,2,3,4,5,6)，表示三种方法在不同炉子上的实施比例，且（01≤≤j x ）。

目标是总成本最小，目标函数：65432191167108x x x x x x z Min +++++=约束条件的确立:排放减少量约束:6013172025912654321≥+++++x x x x x x 150495631184235654321≥+++++x x x x x x125202924285337654321≥+++++x x x x x技术约束:1≤j x ，j=1,2，，6非负约束:0≥j x ，j=1,2，，6故建立的线性规划模型为：65432191167108x x x x x x z Min +++++=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≤≥+++++≥+++++≥+++++6,5,4,3,2,106,5,4,3,2,111252029242853371504956311842356013172025912..654321654321654321j x j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s j j1.2 利用QSB 软件对线性规划模型进行求解，得到如下结果：最优值： 1546.32=z Min所以，增加烟囱高度、加入过滤装置、加入高级燃料在鼓风炉、反射炉上的实施比例分别为100%、62.27%、34.35%、100%、4.76%、100%，才能使总成本最小为32.1546百万美元。

【阶段性实验步骤二】2.1灵敏度分析：最优域和灵敏参数：由表可知，1x 、3x 、6x 具有上限敏感系数，5x 具有下限敏感系数，2x 同时具有上下限敏感系数。

2.2可行域和影子价格：影子价格反映所要求排放量变化一单位所引起的成本变化量。

通过上表可知，大气微尘、氧化硫、碳氢化合物排放量三个约束对应的影子价格分别为0.1110、0.1268、0.0693，所以，大气微尘、氧化硫、碳氢化合物所要求排放量减少一单位所引起的成本减少量分别为0.1110、0.1268、0.0693百万美元。

对于大气微尘、氧化硫、碳氢化合物所要求排放量分别在52.5200~74.2971、148.310~170.4531、103.3080~127.0417（百万磅）范围内变动，该成本变化量会保持不变。

2.32.3.1大气微尘和氧化硫每增加一单位大气微尘的减排量，成本将增加0.1110百万美元。

每减少一单位氧化硫的减排量，成本将减少0.1268百万美元。

所以，在总成本不变的前提下，每增加一单位大气微尘的减排量，氧化硫的减排量会减少0.1110/0.1268=0.8754 单位。

2.3.2大气微尘和碳氢化合物每增加一单位大气微尘的减排量，成本将增加0.1110百万美元。

每减少一单位碳氢化合物的减排量，成本将减少0.0693百万美元。

所以，在总成本不变的前提下，每增加一单位大气微尘的减排量，碳氢化合物的减排量会减少0.1110/0.0693=1.6017单位。

2.3.3大气微尘和氧化硫与碳氢化合物每增加一单位大气微尘的减排量，成本将增加0.1110百万美元。

每同时增加一单位的氧化硫和大气微尘减排量，成本会增加0.1268+0.0693=0.1961 百万美元。

所以，在总成本不变的前提下，每增加一单位大气微尘减排量，氧化硫和大气微尘各减少0.1110/0.1961=0.5660单位。

【阶段性实验步骤三】3.1θ的选择通过上表可以看出排放减少量的增加百分比%40=θ时，考虑到税收上的优惠，企业可以获得最小的实际总成本，8982.31='z 百万美元。

3.23.2.1 最优解和灵敏度报告由上面的计算可知%40=θ 此时不等式约束右边数变为利用QSB 软件对新的线性规划问题进行求解，得到如下结果：最优值： 8982.45='z Min所以，当排放减少量的增加百分比%40=θ时，增加烟囱高度、加入过滤装置、加入高级燃料在鼓风炉、反射炉上的实施比例分别为100%、100%、70.53%、100%、78.16%、92.93%，才能使总成本最小为45.8982百万美元。

灵敏度报告：最优域和灵敏参数：由表可知，1x 、2x 、3x 具有上限敏感系数，5x 、6x 同时具有上下限敏感系数。

可行域和影子价格：3.2.2通过上表可知，大气微尘、氧化硫、碳氢化合物所要求排放量减少一单位所引起的成本减少量分别为0.0993、0.1240、0.0817百万美元。

对于大气微尘、氧化硫、碳氢化合物所要求排放量分别在83.1542~84.2648、203.7059~211.1125、174.7468~175.8638（百万磅）范围内变动，该成本变化量会保持不变。

3.2.3（1）大气微尘和氧化硫每增加一单位大气微尘的减排量，成本将增加0.0993百万美元。