标的资产到期日价格的直方图
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
第三步，得到多个期权价格，画出直方图
40 35 30 25 20 15 10 5 0 4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
• 得到200个期权价格 • 得到期权价格的直方图及定价区间
• 股票价格为50，亚式看涨期权执行价为50，存续 期为5个月，期权到期现金流是每月均价与执行价 之差，股票收益率的标准差为0.4，无风险利率为 0.1，下面用蒙特卡洛方法估计亚式期权的定价区 间?
蒙特卡洛的优缺点
MCMC方法的优点
• 分布假设更一般，描述市场因素可能变化的统计分 布既可以是正态、对数正态的,也可以是带跳的扩散 分布、t分布等。 • 随机生成风险因素的各种各样的未来假想情景,可在 模型中融合管理层对未来风险水平的理解与预测,考 察更多的假设情况。
1 n limn P{| X k E ( X ) | } 1, 0, n k 1 P{lim n 1 n X k E ( X )} 1, n k 1
辛钦大数定律的Matlab实现
0.6 0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
100
200
第七章 基于蒙特卡洛方法的期权定价
Outline
• 蒙特卡洛方法基本原理 • 估计欧式期权的定价区间 • 估计亚式期权的定价区间 • 蒙特卡洛方法的优缺点 • 提高模拟效率的方法
什么是蒙特卡罗模拟?
根据韦氏词典的解释：
Monte Carlo relates to or involves “the use of random sampling techniques and often the use of computer simulation to obtain approximate solutions to mathematical or physical problems especially in terms of a range of values each of which has a calculated probability of being the solution” ——Merriam-Webster, Inc.,1994,P754-755
50 10 40 30 5 0 30
dSt St dt St dW dW z dt z服从标准正态分布 St St t St z t
例
• 设有这样一个股票，其现行的市场价格为50元， 无风险利率为0.1,收益率的标准差为0.4。已知 有一种以该股票为标的资产，执行期限为 T=5/12的看涨期权，执行价格为52元，试用蒙 特卡洛模拟法确定该期权的定价区间?
蒙特卡洛方法的基本原理
•基本思想：抽样试验来计算参数的统计特征，最 后给出求解问题的近似值。
•理论依据：中心极限定理及大数定律为其主要理 论基础
•主要手段：随机抽样 •使用前提：已知随机变量服从的分布或可以化为 已知分布的变量的函数。
抽样分布的基础—辛钦大数定律
• 定理：设 X1 , X 2 ,....Xn .... 是独立同分布的 随机变量序列，有有限的数学期望E(X)， 则有
估计亚式期权的定价区间
• 亚式期权是一种路径依赖型期权，它的收益函数依赖于期 权存续期内标的资产的平均价格 • 离散平均价格
1 n A S ti n i 1
• 亚式看涨期权的现金流
1 N max S ti K , 0 , N i 1 T N ; ti i , i 1, 2 N
• 练习
• 股票价格为50，亚式看涨期权执行价为50，存续 期为5个月，期权到期现金流是每月均价与执行价 之差，股票收益率的标准差为0.4，无风险利率为 0.1，下面用蒙特卡洛方法计算亚式期权的价格?
• 注：随机数采用自由度为6的t分布。
提高模拟效率的方法
对偶变量法
对于服从对称分布的随机变量来说，当随机产生一个随机数v 时，可以自动的得到另一个随机数-v，可以得到两个价格p1， p*1。 对价格的模拟可以使用平均P＝（ p1 + p*1)/2代替
* * var(p1 ) var(p1 ) cov(p1 , p1 ) var(p) 4 4 2
Corr(v,-v)=-1 ，P 1和p*1的相关系数显然小于0.
180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
20
40
60
80
100
120
80 70 60
30 25 20 15
中心极限定理的Matlab实现
估计欧式期权的定价区间
基于蒙特卡洛方法的定价区间估计
• 找到刻画标的资产价格运动规律的随机过程，需要 对误差项的分布作出假设 • 得到N个标的资产到期日价格，得到一个期权价格
• 得到多个期权价格，给出定价区间
估计欧式看涨股票期权的定价区间
• 假设标的资产满足几何布朗运动的随机过程，估计 其欧式看涨期权的VaR?
第一步，得到此股票价格的一条路径
75 70
65
60
55
50
• 得到第i-1个节点的价格
0
20
40
60
80
100
120
• 根据价格服从的随机过程，进而得到第i个节点的价格
第二步，得到1个期权价格
120 100
80
60
40
20
0
0
20
40
60
80
100
120
• 得到标的资产的1000个路径 • 得到标的资产到期日1000个价格 • 得到max(P-K,0)的均值的现值——一个期权价格
300
400
500
600
700
800
900
1000
中心极限定理(central limit theorem)
• 定理：设 X1 , X 2 ,....Xn .... 是独立同分布的 随机变量序列，有有限的数学期望和方差
,
2
, 则有
1 n Xk n k 1 lim n P{ x} ( x), / n 1 n 2 X k ~ N ( , ) n k 1 n