题目：已知函数()sin 1xf x e x =--，()1sin xg x e x x x =---.（1）证明：不等式()0f x >对(1,0)x ∈-恒成立；（2）证明：函数()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在两个极值点.附：10.367e≈，sin10.841≈，cos10.540≈这是武汉市2020届高中毕业生五月质量检测文科数学第21题。
该题文字表述精练简洁，紧扣全国Ι卷命题特点，深入考查数学核心素养与关键能力。
试题出现后，便引发一片热烈讨论：这道试题的命题背景是怎样的，它是如何打磨形成的，其潜在的教学价值如何发掘？本文和诸位同仁分享我们命制此题过程中的磨砺过程。
1.分析试题背景近几年全国Ι卷导数压轴试题以师生熟悉的初等函数模型为载体，有效进行深度整合，试题平易近人，虽然简约但不简单，突出考查数学的核心素养与关键能力。
为此，我们决定要充分尊重全国Ι卷的命题风格，积极地贯彻与落实导数内容的考查要求，从而有利于引导师生进行有效的针对性复习。
命制试题之前，我们主要参考了如下试题：参考题1（2019年全国Ι卷文科第20题）已知函数'()2sin cos ,()f x x x x x f x =--为()f x 的导数。
（1）证明：'()f x 在区间(0,)π存在唯一零点；（2）若[]0,x π∈时，()f x ax ≥，求a 的取值范围。
参考题2（2019年全国Ι卷理科第20题）已知函数'()sin ln(1),()f x x x f x =-+为()f x 的导数，证明：（1）'()f x 在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点。
可以看出，文科试题以三角函数模型为载体，第一问考查函数的零点等数学概念，借助特殊点的函数值的正负性及函数零点存在定理不难分析；第二问考查利用导数解决不等式恒成立问题，解法较多，通常转化为函数最值来处理。
当然也可借助诸如变量分离、洛必达发则、充要条件等方法来分析解决问题。
试题设问角度丰富多彩，能全面考查学生的数学核心素养。
理科试题两问都是证明问题，重点考查函数的极值点与零点等重要数学概念，积极渗透化归与转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等重要思想方法，强调逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养的重要性。
试题设问由浅入深，环环相扣，将函数图像分析与性质探究论证始终放在突出位置进行考查。
2.选取试题素材通过对以上两道全国卷文理科试题的分析，我们觉得在试题素材的选取方面以三角函数为主要函数模型，同时兼顾其它函数模型的有机融合。
这里，我们选择一道求极限01lim sin x x e xx x →--题为试题素材，它源于北大数学分析习题课教材。
这样选材有利于体现客观与公平的命题原则。
曾想以1sin x e xx x--为函数()f x 的解析式进行设计，结果发现计算过于复杂，从而不得不暂时放弃这个想法。
后来，从人教A 版《数学》（选修2-2）第32页B 组第1题中的不等式1xe x >+及sin ,(0,)x x x π<∈找到突破，想到将1sin x e x x x--拆分为1sin xe x x x ---，以降低难度。
接着，借助几何画板画出()1sin xf x e x x x =---的图像，发现(1,)-+∞上函数图像反映了较丰富的性质特征，即存在两个零点和两个极值点，且在0x =处同时存在零点和极值点。
另外，鉴于特殊点的三角函数值在函数图像性质分析中起关键作用，特将定义域确定为1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭，同时给出参考数据值方便学生思考问题，这样便形成了如下的试题雏形：已知函数()1sin xf x e x x x =---，证明：（1）()f x 在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在两个极值点；（2）()f x 在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在两个零点。
附：10.367,sin10.841,cos10.540e≈≈≈。
3.优化试题解法试题形成后，经过讨论初步给出如下解法：（1）对()1sin xf x e x x x =---求导得，'()1sin cos xf x e x x x =---。
记'()()g x f x =，则'()sin 2cos xg x e x x x =+-，当(1,0)x ∈-时，'1(1)(1)sin(1)2cos(1)0.130g e --=+-⋅---≈>，'(0)10g =-<。
由函数零点存在定理知，存在(1,0)β∈-，使'()0g β=，且当(1,)x β∈-时，'()0g x >；(,0)x β∈时，'()0g x <。
又11(1)1sin1cos1110g e e ---=-++>-+>，(0)0g =，所以，(1,0)x ∈-时，()0g x >，'()0f x >。
当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()sin 2cos xg x e x x x =+-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增且''2(0)10,0,22g g e πππ⎛⎫=-<=+> ⎪⎝⎭∴存在唯一的10,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得，'1()0g x =当()10,x x ∈时，'()0g x <，()g x 递减，当1,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >，()g x 递增.又1()(0)0g x g <=，220,2g e ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭∴存在唯一的21,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得2()0g x =.当()20,x x ∈时，()0g x <，即'()0f x <；当2,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >，即'()0f x >所以，0x =为()f x 的极大值点，2x x =为()f x 的极小值点。
（2）由（1）的分析可知，0和2x 分别是()f x 的极大值点和极小值点，且(0)0f =从而，2()(0)0f x f <=。
又2,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0f x >，且02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，由零点存在定理知，存在唯一的32,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使3()0f x =从而，()f x 有且仅有0和3x 两个零点，结论成立。
解答给出之后，大家对(1,0)-上的推理论证过程有不同看法，所以又借助下面的函数'(),(),()f x g x g x 的图像进行分析验证，以便于不断优化解答。
透过'()g x 的图像发现，第一问讨论在(1,0)-内'()g x 存在零点β的论证不够严谨，因为此时'()g x 并不是单调函数，若仅有''(1)0,(0)0g g -><得出'()0g β=有欠妥当，有可能存在多个这样的β使'()0g x =，这说明β值的唯一性需要论证。
下面是改进的分析：对()1sin x f x e x x x =---求导得，''()1sin cos ,(0)0.x f x e x x x f =---=记'()()g x f x =，则'''()sin 2cos ,()3sin cos .xxg x e x x x g x e x x x =+-=++当(1,0)x ∈-时，sin y x x =是偶函数且在(0,1)递增，从而在(1,0)-递减，由此得出，'''()4cos sin xg x e x x x =+-在(1,0)-递增，且'''1()4cos sin 4cos(1)(1)sin(1)0x g x e x x x e -=+->+---⋅->∴''()g x 在()1,0-单调递增，又''1(1)3sin(1)cos(1) 2.700g e --=+---≈-<，''(0)10g =>.∴存在唯一的()1,0α∈-，使得''()0g α=.当()1,x α∈-时，''()0g x <，'()g x 递减；(),0x α∈时，''()0g x >，'()g x 递增.''()(0)10g g α∴<=-<.又'(1)0.130g -≈>，'(0)10g =-<由函数零点存在定理知，存在唯一的(1,)βα∈-，使得'()0g β=当(1,)x β∈-时，'()0,()g x g x >递增；当(,0)x β∈时'()0,()g x g x <递减；∴(1,0)x ∈-时，()g x 先增后减。
又11(1)1sin1cos1110g e e ---=-++>-+>，(0)0g =从而，{}()max (1),(0)0g x g g >->，'()0.f x >结合''()g x 的图像再次进行检验，发现论证过程较为严谨。
但推证较为复杂且涉及到高阶导数，不利于学生接受和理解。
能否换个角度，再次给出一种较容易的解答？对解答过程的不断的反思终于使我们认识到，超越函数xe 与三角函数的混合式求导分析函数性质较为困难。
于是，猜想能否将xe 放缩成较简单的多项式函数，这使我们想到了泰勒展开式，从而又得到下面的分析过程：当(1,0)x ∈-时，先证231026xx x e x ---->。
事实上，不妨设23()126xx x u x e x =----，则2'()12xx u x e x =---又设2()12xx v x e x =---，则'()1xv x e x =--。
易知，1x e x ≥+，从而，'()0v x ≥，()v x 在(1,0)-递增，()(0)0v x v <=，即'()0u x <()u x ∴在(1,0)-递减，()(0)0u x u >=.由此，可得23'()1sin cos 1sin sin 26xxx x f x e x x x e x x x =--->-->++-，记23()sin 26x x x x x ϕ=++-，则2222'22()1cos 2sin 022222x x x x x x x x x x x x ϕ=++-=++<+=+<（10x -<<）()(0)0x ϕϕ∴>=，'()0f x >，即()1sin x f x e x x x =---在(1,0)-递增.可以看出，借助函数xe 的泰勒展开式构造函数不等式，是处理这样一类问题的有效方法。