收益与风险
9.1 收益率
•
收益 = 股利收入+资本利得(资本损失)，它是一个随机变量 • 收益率(%) r t+1 =期初价值期末价值－期初价值=t
t t t t P P P P D -+=++11期初市场价值总收益 = 股利收益率% + 资本利得收益率% 单期收益率：t t t t t
P D P P r +-=-)(1 单期收益：1-=t t
t P P R 多期收益率：1)(-==-=
----k t t k t t k t k t t t P P P P P P P k r 多期收益：k t k t t t t t k t t t P P P P P P P P k R -------•==1
211)(
))1(1())1(1))(1(1()(11k t t t t r r r k r --+++=+ 多期收益是单
期收益的乘积 对数收益：),(ln ~
1+∞-∞∈=-t t t P P r t t t t t r r P P r ≈+==-)1ln(ln ~1
多期对数收益：)1(~)1(~)1(~ln )(~
1k t t t k t t t r r r P P k r ---++== 长期收益一般研究对数收益，短期收益一般研究算术收益。
• 持有期收益率 = (1 + r 1)(1 + r 2) …(1+ r T ) -1
它是在T 时期内的总收益率
• 期望收益率=收益率的均值
9.2 期望效用原理
一 一般的效用函数
二次效用函数 (3.6)
对数效用函数 (3.7)
幂函数 (3.8)
负指数函数 (3.9)
二 均值方差准则的效用函数基础
期望效用原理：
收益率是r.v.（随机变量）
采纳量化指标，期望收益率，方差（标准差）——风险
假设：
⑴不满足性：在两个收益率中选择期望收益较高的投资
⑵风险厌恶：假如两个期望收益率相同，则选方差较小的投资。
2W W U β-=W U ln =ββW U )sgn(=)
exp(W U β--=
定义：集合S 是N 种证券所组成的投资组合，
证券组合：
(){
}种证券上的投资比例是在i x x x x P i i N ,1,1∑== ， 称S 为机会集合。
预算约束：N N N
x x W y W y y y W +=++=++=∆1111 给定S.设对S 中的任何两个证券X 和Y ，都能够进行比较，结果
一定是运行三种结果之一：
⑴X 比Y 好，记为Y X .
⑵Y 比X 好，记为X Y .
⑶X 和Y 无差异，记为Y X ~.
则那个比较结果给出了S 上的偏好关系。
假设偏好关系具有传递性，即Z X Z Y Y X
⇒,,在给定的偏好
关系下，所有与X
差异证券构成的集合称为证券X 的无差异集，当无差异集是一条
曲线，称为无差异曲线。
定义两个财产博弈（Game ）：G(a,b ；p),即它是一个以概率p 获
得财产a,以概率1－p 获得财产b ，则称F(G(a ，b ；p))＝pa ＋
（1－p ）b 为G 的期望值，假如博弈G （a ，b ；p ）使得EG （a ，
b ；p ）＝0，称那个博弈为统计上的公平博弈。
（参加公平博弈的
确实是风险不厌恶者）
另外一个博弈G(a ，0；1)确定性博弈，则EG(a ，0；1)＝a
设：投资者的效用函数为U （•），一个博弈的效用U(G(a ，b ；p))，
因G 是随机的为了计算U(G)对U(G)作假设。
定义：关于如何两个博弈，);,(),;,(2211p b a G p b a G ，及给定的偏好关
系。
假如效用函数U （G ）满足如下条件：
⑴)()(2121G U G U G G >⇒
⑵)()(~2121G U G U G G =⇒
⑶)()()1()()(G EU b U p a pU G U =-+=
则称U （•）为代表此偏好关系的期望效用函数。
能够证明在一般条件下，代表偏好关系的期望效用函数是存在
的。
双曲线决定风险厌恶效用函数，
)0(,11)(>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=b b a U θ
θωθθω，b=1,a=2β,θ=2,代入后恰是二次效用函数。
9.3 风险及其度量
严格个体的风险厌恶：个体不情愿同意任何统计意义上的公平博
弈。
个体的风险厌恶：个体不情愿同意或至多无差异于任何统计意义
上的公平博弈。
设U （•）是投资者效用函数：ω——是以后财宝 r.v.
定义： 一般风险测度
一般风险测度（GRM ）
(3.12) • 定理3.1
.)(,0)(0)(,0是严格向下凸的如果是线性的；
，如果是严格向下凹的；
如果W U W U W U <=>ϕϕϕ
二 确定性等价和风险补偿
关于风险 ，它的风险补偿 为
（3.13）
定义：G(a ，b ；p)是一个博弈，U （•）是一个投资者的效用函数。
⑴ϕ>0，投资者是风险厌恶的；
⑵ϕ＝0，投资者是风险中立的；
⑶ϕ<0，投资者是风险偏好的。
))
(()(W U E W U -=ϕ),(P W π
CE W -=π
)(()(W U E W U -=ϕ
∑∞=-+-'+=1)())(())(()()(k k
k k W W W U W W W U W U W U
∑∞=+=1!)()()(k k k k M W U W U W EU
注意: )()(πϕ--=W U W U
ππ)()()(W U W U W U '-=-
在均值点展开,
)(2)())(2)()(()())((2
2
W U W U W W U W U E W EU W U E ''+=''+'+=+=σοεεε 由于)
()(21))(()(W U W U W U E W U '''=⇒=-ππ ),())((2σW g W U E =,马可维兹实际上是关于均值和方差的函
数.
定理3.2 假如是严格单调递增，且函数形式确定，则 且 和 是一对一的变换。
（2）作为对风险厌恶的测度， 与 是等同的。
定理3.3 假如效用函数是线性函数，则GRM 将 变成 而
是不变的。
，0)1(>W
d d πϕϕπ
ϕπϕϕa π
三 一般风险测度的级数展开
定理3.4 假如效用函数 在附近能做 展开，概率分布的 K 阶中心矩 存在，则
四 局部风险厌恶
局部风险厌恶的Pratt 测度
为 （3.16）
（3.17）
五 一般风险测度 的一些例子
效用函数
(1) (2) W Taylor k M ∑∞=-=2)(!)(k k
k k M W U ϕ)(W r )
()(21
22是方差σσπW r =)
)(()
(风险补偿边际效用==πϕdW W dU ϕ
)(πϕ0
==+πϕbW a 2
2)2(ππϕb W b a bW aW +-=+。