给一个增量d，外力做元功为
d W F 1 1 d F 2 2 d F n n d
( F 1 1 F 2 2 F n n )d
可得
W(F11F22
Fnn)
1d
0
12F1112F22 12Fnn
根据功能原理，物体的应变能应为
U W 1 2F 1 11 2F 2 2 1 2F n n
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由
端B的挠度。
A x
解：
M (x)Px
U M 2(x)dx l 2EI
l (Px)2 dx
0 2EI
P 2l3 6EI
W
1 2
P
fB
由UW,得f B
Pl3 3EI
例：试求图示梁的应变能，并利用功能原理求C截面的挠 度。
解： U
l
M 2(x)dx 2EI
第十二章 能量原理及其应用
§12-1 杆件的应变能
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变 形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简 称应变能。
物体在外力作用下发生变形，物体的应变能 在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上 所做的功，即
UW (功能原理）
能量法：从功和能的角度出发，分析
杆件的内力、应力和位移。
一、杆件应变能计算
1、轴向拉伸和压缩
UW
1 2
P
l
1 2
P
Pl EA
P2l FN2l 2EA 2EA
FN或A变化时
UV
l
FN2 (x) 2 EA( x)
dx
P
l l
P
2、扭转
m
m
UW 1 m 1mml m2l MTT 2l
2
2 GIp 2GIp 2GIp
当MT=MT(x)或截面变化
上式表明线弹性体在小变形时的应变能等于各外力与其相应 位移乘积的二分之一的总和。这一结论称为克拉贝依隆 (Clapeyron)原理。
对于多个载荷共同作用时，应变能的计算公式仍可用
U 1 n Fii 2 i1
多个载荷共同作用时，结构的应变能等于各载荷在相 应位移（载荷作用点处沿载荷作用方向的位移）上所作功 之和，称为克拉贝隆定理。
Fn
从0开始缓慢变到最终值1
Fi、Δi分别称作广义力和与广义力相应的广义位移。
其中Δ1为1点的挠度， Δ2为2点的转角， Δ3为分布载荷F3作用区段 挠曲线覆盖的面积，
则任意时刻第i个力作用位置沿 F i 方向的位移为
i t C i 1 F 1 t C i 2 F 2 t C i F n n t C i 1 F 1 C i 2 F 2 C i F n n i
对于由线弹性材料制成的线性结构，内力和位移只与 载荷最终值有关，与加载过程无关，因而对于非比例加载 的一般情况，也是正确的。注意到导出式的过程并没有论 及结构特点，因而式是线性结构的普遍定理之一。
克拉贝隆定理的证明从略
三、组合变形的应变能
截面上存在几种内力， 各个内力及相应的各个位 移相互独立，力独立作用 原理成立，各个内力只对 其相应的位移做功。
例12-1 如图示悬臂梁受到力F作用，该 梁长度为l，截面为圆形，直径为d，且 l=5d。材料的弹性模量为E，试求该梁 的应变能U。
解：注意到力F的方向与杆轴不重合，因而梁A受到拉伸与弯 曲的组合作用，其中轴力FN=Fcos45°，弯矩M=Fxcos45°
应变能U为
因为A=πd2/4，I=πd4/64，l=5d，则
A
解：T ()P R (1cos), M ()P Rsin
UV l
T2()Rd
2GIp
l
M2()Rd
2EIW 2 P fA
由UW,得
fA
3PR3
2GIp
PR3
2EI
R
A
例 抗弯刚度为EI的悬臂梁受三角形分布荷载作
用，梁的材料是线弹性体，且不计剪应变对挠度 的影响。试计算悬臂梁自由端的挠度。
q0
A
B
L
？ 用功能原理有什么问题吗
§12-2 互等定理
对线弹性结构，应用应变能的概念，可以导出功的互等定理和位 移的互等定理，在结构分析中有重要的作用。
二、功的互等定理
先作用第一组力F11 、 F12 、 F1n
引起各力作用位置沿力方向的位移分别为
Δ1、 1 Δ1、 2 、 Δ1n
第一组力完成的功为
终值U：拉、W压：12 FliiF其Nl中：
EA
F-----广义力 Δ-----广义位移
FFN 轴力
扭转： MTl
EPI
弯曲： Ml
EzI
FMT 扭矩
FM 弯矩
二、应变能的普遍表达式
作用在物体上的外力为 F1、F2、 Fn
外力作用点沿外力方向的位移为 1、2、 n
假设任一时刻各力的大小分别为 、F1 、F…2
A=A(x)时，可取微段：
U MT2(x) dx l 2GIP(x)
3、弯曲
纯弯曲：UW
1 m
2
1m 2
ml EI
横力弯曲： VU
l
M 2(x) dx
2EI (x)
m2l M 2l 2EI 2EI
结论：
1、杆件应变能在数值上等于变形过程中外力所
做的功。
2、线弹性范围内，若外力从0缓慢的增加到最
U F N 2(x)dxM 2(x)dx M T 2(x)dx
l2E(x A ) l2E(xI) l2GP(x I)
注意：上式中各项是对内力分量平方的积分，故恒
为正值。且对产生同一种变形形式的荷载，不能采用 叠加原理。
F F 1 F 2 但 F 2F 1 2 F 2 2
弹性变形的最终状态仅与荷载的终值有关，因此， 弹性变形能的计算与加载次序无关。
a
0
Plbx12 2EI
dx1
b
0
Plax2 2EI
2
dx2
2PE2Ibl22
a3 3
2PE2Ial22
b3 3
P 2a 2b2 6EI l
W
1 2
P
fC
由UW,得
fC
Pa 2b 2 3EIl
例3：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力P 垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。已知GIp、 EI为常量。
1 2F 1Δ 11 11 2F 1Δ 212 1 2F 1nΔ 1n
d U 1 2 F N (x )d ( l) 1 2 M (x )d 1 2 M T (x )d
FN2(x)dxM2(x)dxM T2(x)dx 2EA 2EI 2GPI
U F N 2(x)dxM 2(x)dx M T 2(x)dx l2E(x A ) l2E(xI) l2GP(x I)