M、FQ与q的关系
设梁上作用任意载荷，坐标
原点选在A点（左端点形 心），现分析剪力、弯矩与 载荷集度的关系。
取x处一小段dx长度梁，如图，由平衡方程 得： ∑Fy=0; FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0…………(a) ∑MC=0; M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0……(b) 在上式中略去高阶微量后，得
例：左图 左半部分： ∑Fx=0 FP=FN 右半部分：, , ∑Fx=0 FP =FN
例13-1
已知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面
m-n上的内力
解： 1、假想从m-n面将机架截 开（如图）； 2、取上部，建立如图坐标 系，画出内力FN，MZ （方 向如图示）。
（水平部分/竖直部分的变形？）
续例14-3
4）3-3截面内力：(0 ≤ x3 ≤ a，此处x3的起点 为B点，方向如图)
1 qa 6 1 2 M3 M FBY x 3 q a q a x 3 6 FQ3 FBY
§14-4内力图----剪力图
1.当：0≤x1≤a 时
AC段 FQ1=5q.a/6
A—截面面积
位移
构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变
来度量。 如图：
AA’连线称为A点的线位移
θ角度称为截面m-m的角位移，简称转角
注意，单元K的形状也有所改变
应变
分析单元K 单元原棱长为△x，△u为绝对伸长量，其相对伸长 △u/ △x的极限称为沿x方向的正应变ε。
转动
内力：作用面与横截面重 合的一个力偶，称为扭矩T
T=M
正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系
基本变形---弯曲（平面）
载荷特点：在梁的两端作
用有一对力偶，力偶作用 面在梁的对称纵截面内。
变形特点：梁的横截面绕
某轴转动一个角度。 中性轴（面）
内力：作用面垂直横截面的
一个力偶，简称弯矩M
解：1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m MB=MC=350N.m；MD=446N.m 2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩， 即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图 a)、b)、c);均有∑Mx=0 得： T1+MB=0 T1=-MB= -350N.m MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m MD-T3=0 T3=MD=446N.m 3)画出扭矩图如 d)
qa
F BY
1 6
qa
FAy
FBy
2）1-1截面内力：(0≤x1 ≤ a)
FQ1 FAy 5 6 qa
M1 FAY x1 5 6 q a x1
3）2-2截面内力： (a≤x2<2a)
11 q a q x2 6 1 5 1 M 2 FAY x 2 - q (x 2 a) 2 q a x 2 - q (x 2 a) 2 2 6 2 FQ2 FAY q (x 2 a)
dFQ (x) dx
d 2M dx 2
q(x)
dFQ dx
dM dx
FQ (x)
q(x)
使用关系式画FQ、M图
q(x)=0的区间 q(x)=C的区间 集中力F作用处 力偶M作用处
∑Fx=0 FN1-F1=0 得：FN1=F1=2.5kN
2)求BC段轴力，从2-2截面处截开， 取右段，如图14-1-3所示
∑Fx=0 –FN2-F3=0 得：FN2= - F3=-1.5kN
（负号表示所画FN2方向与实际相反）
3)图14-1-4位AB杆的轴力图
扭转圆轴的内力
扭转变形的定义 横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转 以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴 本课程主要研究圆截面轴
内力的概念
构件在外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点 之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起 构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。
横截面上内力分析
利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到 一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图 其中：Mx、My、Mz为主矩 在x、y、z轴方向上的分量。 FNx、FQy、FQz为主矢在x、 y、z轴方向上的分量。
弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的
弯矩为正。（形象记忆：盛水的碗）
正应力、切应力
应力的概念
单位面积上内力的大小， 称为应力 平均应力Pm，如图所示
△F Pm= △A
正应力σ
单位面积上轴力的大小，称为正应力；
切应力τ
单位面积上剪力的大小，称为切应力
应力单位为：1Pa=1N/m2 （帕或帕斯卡) 常用单位：MPa（兆帕），1MPa=106 Pa=1N/mm2
M2=FAY · x-M=M(x - L)/L
典型例题-3
悬臂梁作用均布载荷q，画出 梁的剪力图和弯矩图
写出A点x处截面的剪力 方程和弯矩方程 FQ q x M 1 2 q x 剪力图、弯矩图如右，最 大剪力、弯矩均发生在B 点，且
FQ max ql M max
1 2
ql
典型例题-1
已知：G,a,b,l,画梁AB内力图
解：1〉求A,B支座反力( a+b=l )
FAy
Gb l
FBy
Ga l
2〉求x截面内力 a) 0<x<a
FQ1 FAy Gb l
b) a<x<l
M1 FAy x Gb l x
Ga FQ2 FAy G Gb G l l
外伸梁
悬臂梁
一端为固定端，另一端为自由端的梁。
梁内力的正负规定
梁的内力 剪力FQ
梁的变形
弯曲梁的内力—例
例14-3 简支梁如左图，已知a、 q、M=qa2；求梁的内力
解：1）求得A、B处反力FAY,FBY；
F A Y
5 6
1
2 3
弯曲梁的内力
弯曲梁的概念及其简化 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到 垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线 变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的 变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。 常见梁的力学模型 简支梁
一端为活动铰链支座，另一端为固定铰 链支座 一端或两端伸出支座支外的简支梁
FQ=FQ(x) Mc=M(x)
典型例题-2
简支梁受力偶作用
1.
求支座反力FAY,FBY得： FAY=- FBY =M/l
AC段X截面处剪力FQ=Fay, 3. 同理可求得BC段剪力与AC 段相同，剪力图如左
2.
4.
AC段弯矩方程M1
M1=FAY· x=M · x /L BC段弯矩方程M2
5.
功率、转速和扭矩的关系
P M=9549 n
其中： M为外力矩(N.m) P为功率(kW) n转速(r/min)
扭矩图 仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，就 是扭矩图。
例2 扭矩图
如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D
输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速 n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图
• FNx使杆件延x方向产生轴向拉压变形，称为轴力 • FQy,FQz使杆件延y,z方向产生剪切变形，称为剪力 • Mx 使杆件绕x轴发生扭转变形，称为扭矩 • My、Mz使得杆件分别绕y z轴产生弯曲变形，称为弯矩
横截面上内力计算--截面法
截面法求内力步骤 将杆件在欲求内力的截面处假想的切开； 取其中任一部分并在截面上画出相应内力； 由平衡条件确定内力大小。
A点：x1 0 M1A 0；
2 C点：x1 a M1C 5 q a 6
2 C点：x 2 a , M 2C 5 q.a 6 2 D点：x 2 2a , M 2D 7 q.a 6
2 D点：x 3 a , M 3D 7 6 q a M 2D
B点：x 3 0, M 3B q a 2 M
材料力学的基本知识
变形
构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现
象；变形固体的变形通常可分为两种：
弹性变形---载荷解除后变形随之消失的变形 塑性变形---载荷解除后变形不能消失的变形
材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹
性小变形，即变形量远远小于其自身尺寸的变形
变形固体的基本假设 连续性假设
2.当：a≤x2≤2a 时,即CD段
FQ2=11q.a/6-q.x2 ，直线 x2 =a；FQ2 = 5q.a/6 （= FQ1 ） x2 =2a；FQ2 = -q.a/6 （= FQ3 ）
3.当： 0≤x3≤a (起点在B点）
FQ3=-q.a/6
内力图----弯矩图
当：0≤x1≤a 时， M1=5q.a.x1/6为直线 当：a≤x2≤2a 时，为二次曲线； M2=5qax2-q(x2-a)2/2 当： 0≤x3≤a时（原点在B点，方 向向左），M3为直线 M3=qa2+q.a.x3/6;
假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质
假设材料的力学性能在各处都是相同的。 假设变形固体各个方向的力学性能都相同
均匀性假设
各向同性假设
材料力学的基本知识
材料的力学性能
-----指变形固体在力的作用下所表现的力学性能。
