2 精度分析
为了对四点共球法进行 精度分析, 作者利用三维 绘图软件 U G 的二次开发工具 U G /O pen GR IP 将此方 法作为一个菜单嵌入到 U G 软件中, 以便在 U G 中对解 析曲面进行仿真分析。
具体如下: 在 U G 中构造一椭球面, 方程为: x2 / 1002 + y2 /1302 + z2 / 1002 = 1。考虑到对称性, 截取处在第一 象限的 1 / 8椭球面作为被测曲面进行仿真分析。按照一 定规律截取 m 个垂直于 y 轴的截面, 在每个截面上按等 弧长构造 n个曲面上的点作为模拟测量点, 记为 Q i, j ( i = 0, 1, , m - 1; j = 1, , n )。然后为每个测量点构造 对应的测头中心点 (取测头半径 R 的值为 1mm ), 并在 第 m 行后扩充一行, 在每一行的首末各扩充一列, 共得 到 m + 1行 n + 2列点, 记为 Pi, j ( i = 0, 1, , m; j = 0, 1, , n + 1), 作为模拟测量数据。再用四点共球法对 P 1, , n) 进行测头半径补偿, 将补偿后的点 记为 Q i, j ( i = 0, 1, , m - 1; j = 1, , n )。最后将 Q i, j 和 Q i, j 比较, 以偏差 e = | Q i, j - Q i, j | 为 指标考察四点共球法的精度。
解。
( 3) 补偿矢量及补偿公式: 补偿矢量N i, j 的坐标表 达式为 O i, j 的 x、y、z 值分别减去 Pi, j 的 x、y、z 值。设单位 化后的补偿矢量为ni, j, 测头半径为 R, 则可以推出被测 点 Q i, j 的坐标公式, 即测头补偿公式为 (本公式按坐标 分量进行计算 ):
(
2)
计算球心坐标:
设被补偿点为
P i,
j,
球心为
O i,
。
j
由几何知识易知, 球心 O i, j 为点 P i, j- 1 和点 Pi, j 的中垂面、
点 Pi, j 和点 Pi, j+ 1 的中垂面及点 P i+ 1, j 和 P i, j 的中垂面的交
点。再由空间解析几何知识知, 求球心 O i, j 的坐标等价
现行的测头半径补偿方法 主要有微平面法、三点 共圆法、拟合补偿法、直接计 算法和三角网格法, 拟合 补偿法以 B 样条 曲 面 补偿 法 和 krig ing 补 偿 法 为代 表 [ 2] 。这些方法中, 拟合补 偿法和三角网格法测量过 程与数据处理 复杂, 计 算量大, 不适合 现场的 快速测 量; 直接计算法则是权系数受取点影响非常明显, 精度 也不高; 微平面法的误差会由于点距的稍微增加而急 剧增加; 三点共圆法属于二维补偿, 存在原理误差。
收稿日期: 2005- 08- 17 作者简介: 颉赤鹰 ( 1980 ) , 男, 山西平遥人, 汕头大学工学院硕士研究生, ( E - m ail) g_ cyxie@ s tu. edu. cn。
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2006年第 1期
控制与检测
由于被测 点一定
在球心 轨迹 面过 测量 点的法线上 [ 3], 故补偿 方向为被补偿点 P i, j 和 球心点 O i, j 的连线。沿 着补偿 方向 将测 量点
的运算量和采集数据点的方法。然后, 对该方法的补偿精度做了初步分析, 并给出保证补偿精度的注意
事项及进一步提高补偿精度的方法, 以一个补偿实例进行验证, 结果表明四点共球法可以满足绝大多数
工程测量, 具有一定的实际应用价值。
关键词: 三坐标测量机; 测头半径补偿; 四点共球法
中图分类号: TG 806
10次加减。本算法中计算补偿矢量时共需 9次乘除、8 次加减及 1次开方。所以, 补偿一个点一共需要的 27次
乘除、18次加减及一次开方。即使补偿十万个点, 也只 需要 270万次乘除、180万次加减及 10万次开方。即使
对于一般的微机, 这点运算量也是微不足道的, 而在实 际的工程测量中, 十万个测量点已是非常少见的情况 了。可见, 四点共球法的运算速度完全可以满足实际的 工程测量。
表 1 偏差 e 的分析结果 (m = 40) 单位: m
n
最大值
最小值
平均值
11
5. 2375970
0. 0054109
3. 0757303
16
5. 2375966
0. 0054100
3. 0757303
31
5. 2375969
0. 0054077
3. 0757303
基于上述原因, 在后面的精度分析中仅对 m 值进 行改变。按垂直于 y轴, 且在 y轴上截距相等的方法取 m 个截面, 每个截面上按等弧长的方法构造 n 个点。将 n 固定为 11, m 依次取 20、30、40, 分析偏差如表 2。由表 2 知, 偏差 e的各项数据均随着 m 的增加显著减小。可见, 对一般曲面, 测点密度的增大可以显著提高补偿精度。 另外, 从表 2还可以得知, 偏差 e 的数量级为 m, 即四 点共球法的补偿精度达到了微米级, 可以满足绝大多 数工程测量。
动测头一个增量, 继续以上述方式在 oxz平面内扫描测 量; 依次遍及整个待测曲面。假设对数据进行平滑等预
处理后, 共得到 m + 1行 n + 2列点, 其中每行的第一列 和最后一列及最后一行是为了对边界点补偿而增测的
点, 也可以根 据内部点计算 得到, 记为 P u, v ( u = 0, 1, , m; v = 0, 1, , n, n + 1)。
文献标识码: A
A N ew M ethod of the CMM Probe R ad iu s Comp ensation XIE Ch i y ing, CH EN Shao ke
( Eng ineering Co llege o f Shantou U niversity, Shantou Guangdong 515063, China) Abstract: The probe radius compensated is necessary w hen w emeasure by the CMM. Based on analyses the existing methods of the probe radius compensation, a new algorithm named "4 po int bui ld a sphere" is pro posed. The theory of the algorithm is expounded, at the same time, the w ay of gathering data and its opera tion speed are offered. A nd then, the prec ision of the algorithm is analyzed by compu ter simu lation and how to improve the precision is in troduced farther. A nd it 's show ed that the algorithm can satisfy amajority of measure and has app lication value. Finally, the algorithm is verified by an instance again. K ey w ord s: CMM; probe rad ius compensation; 4 po int build a sphere
由于构造的椭球面在垂直于 y轴的截面为圆, 所以 根据四点共球法的补偿原理, n 的变化对误差不应有影 响。为了验证此结论, 在过 y 轴的平面与椭球面的截交 线上, 按等弧长的方法, 构造 40个参考点, 过每个参考 点做垂直于 y 轴的截面 (即 m = 40), 在每个截面按等 弧长的方法构造 n 个点。n 依次取 11、16、31, 分析偏差 如表 1。由表 1中数据知, n对 e 影响最为显著的是当 n 由 11增大到 31时, e的最小值减小了 3. 2 10- 6 m, 这 时候影响 e 的主要因素是计算机的舍入误差。这也从侧 面证明了四点共球法是正确的。
在吸取微平面法和三点共 圆法优点的基础上, 本 文提出了一种新的补偿方法: 四点共球法。这种方法 原理简单, 计算量比拟合补偿法、三角网格法要小得
多; 在相同条件下, 四点共球法所得到的法矢比微平面 法和三点共圆法更接近真实法矢; 精度比拟合补偿法、 三角网格法略低, 但已可以满足绝大多数的工程需要。
于联立求解上述 3个中垂面方程。由于上述各个方程均
为 3元一次方程, 这样, 问题就归结为求解 3元线性方
程组。由于四个不共面的点唯一确定一个球面, 所以该 方程组有且仅有一解, 采用高斯消去法可得到精确值。
同时, 为了防止溢出或产生较大误差, 可使用选主元技 术进行求解。事 实上, 本算法 采用了列主元 消去法求
控制与检测
组合机床与自动化加工技术
文章编号: 1001- 2265( 2006) 01- 0050- 03
三坐标测量机测头半径补偿的新方法
颉赤鹰, 陈少克
(汕头大学 工学院, 广东 汕头 515063)
摘要: 用三坐标测量机进行测量时, 需要对测头半径进行补偿。在对现有的测头半径补偿方法进行分析
的基础上, 提出一种 四点共球法 , 实现了对测头半径的补偿。在阐述四点共球法原理的同时, 给出了它
本方法不在测量过程中补偿测头半径, 而是在收 集测头中心坐标值后, 利用数学方法求出法线方向, 继 而进行测头半径补偿。具体过程为: 假设在曲面上测 得 m 行 n 列点, 若对 P i, j 进行补偿, 取如下四点: P i, j- 1、 P i, j、P i, j+ 1、P i+ 1, j, 当所取四点所在的曲面块很小时, 可以 近似为一小块球面上的四个点。设此四点构成的球面 的球心为点 O i, j, 如图 1所示。