高三数学试题（理科）一、选择题(本大题共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知复平面的平行四边形ABCD中，定点A对应的复数为i(i是虚数单位)，向量BC 对应的复数为2＋i，则点D对应的复数为( )A． 2 B． 2＋2i C．－2 D．－2－2i2.在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型1的相关指数为0.98，模型2的相关指数为0.80，模型3的相关指数为0.50，模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的模型是( )．A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型43.设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1．6，则a－b＝( )A．0．2 B．0．1 C．－0．2 D．－0．44.若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则实数m的取值围是( )A． [－2,2] B． [0,2] C． [－2,0] D． (－∞，－2)∪(2，＋∞)5.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆的交点有( )A．36个 B．72个 C．63个 D．126个6.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的一个充分而不必要条件是( )A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<17.若（n∈N*),且,则( ) A．81 B．16 C．8 D．18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )A． B． C． D．9.高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( )A． B． C． D．10.已知x与y之间的几组数据如表:假设根据如表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为,则以下结论正确的是( )A．, B．, C．, D．,11.某人射击一发子弹的命中率为0.8，现在他射击19发子弹，理论和实践都表明，在这19发子弹中命中目标的子弹数X的概率满足P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，19)，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是 ( )A．14发 B．15发 C．16发 D．15发或16发12.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若a＋b＋c＝0，导函数f′(x)满足f′(0)f′(1)>0，设f′(x)＝0的两根为x1，x2，则|x1－x2|的取值围是( )A．3233⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， B．14,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1333⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D．1193⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷非选择题二、填空题(本大题共4小题,每小题5.0分,共20分)13.某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X～N(50,)，则他在时间段(30,70]赶到火车站的概率为________．14.如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面的射影为M，则有________．15.设M＝，则M与1的大小关系是__________．16.若对任意的x∈A，则x∈，就称A是“具有伙伴关系”的集合．集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.（本小题共12分）已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)．(1)若x＝37+i44是方程的根，求a的值；(2)若x1，x2是方程两个虚根，且|x1－1|＞|x2|，求a的取值围．18. （本小题共12分）随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．(1)完成如图2×2列联表：(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“休闲方式有关与性别”，那么本次被调查的人数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：＝，其中n=a+b+c+d.参考数据：19.若n为正整数，试比较3·2n－1与n2＋3的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．20.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．21.已知函数f(x)＝(ax－x2)e x.(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在(－1,1]上单调递增，求a的取值围；(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值围，若不是，说明理由．22.设函数f(x)＝|x－a|＋x.(1)当a＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值围．答案解析1.B2.A3.C4.A5.D【解析】此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有＝126(个)6.C7.A8.D9.C 10. C11. D【解析】由≥且≥，解得15≤k≤16，即P(X＝15)＝P(X＝16)最大12.A【解析】由题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，∴x1＋x2＝－，x1·x2＝，∴|x1－x2|2＝(x＋x2)2－4x1·x2＝.∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴|x1－x2|2＝＝()2＋·＋.∵f′(0)·f′(1)>0，f′(0)＝c＝－(a＋b)，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝2a＋b，∴(a＋b)(2a＋b)<0，即2a2＋3ab＋b2<0，∵a≠0，两边同除以a2，得()2＋3＋2<0，解得－2<<－1.由二次函数的性质可得，当＝－时，|x1－x2|2有最小值为，当趋于－1时，|x1－x2|2趋于，故|x1－x2|2∈[，)，故|x1－x2|∈[，)．13. 0．9544 14.＝S△BCM·S△BCD15.【答案】M<1【解析】∴M＝＝1.16.【答案】15【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3；共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为＋＋＋＝15．17.解(1)已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)，若x＝＋i是方程的根，则x＝-i也是方程的根．(＋i)＋(-i)＝a，解得a＝.(2)x1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个虚根，不妨设x1＝，x2＝，a∈(－2,2)，|x1－1|＞|x2|，∴(－1)2＋(－)2＞()2＋()2，∴a＜1. 综上，－2＜a＜1.18.【解】(1)依题意，被调查的男性人数为，其中有人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为，其中有人的休闲方式是运动，则2×2列联表如图。

(2)由表中数据，得＝，要使在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“性别与休闲方式有关”，则≥3.841，∴≥3.841，解得n≥.276.又n∈N*且∈N*，∴n≥140，即本次被调查的人数至少是140. (3)由(2)可知，140×＝56，即本次被调查的人中，至少有56人的休闲方式是运动．19.解当n＝1时，3·2n－1＜n2＋3；n＝2时，3·2n－1＜n2＋3；n＝3时，3·2n－1＝n2＋3；n＝4时，3·2n－1＞n2＋3；n＝5时，3·2n－1＞n2＋3；猜想：当n≥4且n∈N*时，3·2n－1＞n2＋3.证明：当n＝4时，3·2n－1＞n2＋3成立，假设当n＝k(k≥4且k∈N*)时，3·2k－1＞k2＋3成立，则当n＝k＋1时，左式＝3·2k＝2·3·2k－1＞2(k2＋3)，右式＝(k＋1)2＋3，因为2(k2＋3)－[(k＋1)2＋3]＝k2－2k＋2＝(k－1)2＋1＞0，所以，左式＞右式，即当n＝k＋1时，猜想也成立．综上所述，当n≥4且n∈N*时，3·2n－1＞n2＋3成立．20.【解】由题意知，ξ服从二项分布B(n，p)，P(ξ＝k)＝，k＝0,1，…，n.(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝.ξ的分布列为(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝，或P(A)＝1－P(ξ＞3)＝1－＝. 所以需要补种沙柳的概率为.21.【解】(1)当a＝2时，f(x)＝(2x－x2)e x.f′(x)＝(2－2x)e x＋(2x－x2)e x＝(2－x2)e x，令f′(x)≤0，即2－x2≤0，解得x≤－或x≥，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．(2)函数f(x)在(－1,1]上单调递增，所以f′(x)≥0，对于x∈(－1,1]都成立，即f′(x)＝[a＋(a－2)x－x2]e x≥0，对于x∈(－1,1]都成立，故有a≥＝x＋1－，令g(x)＝x＋1－，则g′(x)＝1＋>0，故g(x)在(－1,1]上单调递增，g(x)max＝g(1)＝，所以a的取值围是[，＋∞)．(3)假设f(x)为R的上单调函数，则为R的上单调递增函数或单调递减函数．①若函数f(x)为R上单调递增函数，则f′(x)≥0，对于x∈R都成立，即[a＋(a－2)x－x2]e x≥0恒成立．由e x>0，x2－(a－2)x－a≤0对于x∈R都恒成立，由h(x)＝x2－(a－2)x－a是开口向上的抛物线，则h(x)≤0不可能恒成立，所以f(x)不可能为R上的单调增函数．②若函数f(x)为R上单调递减函数，则f′(x)≤0，对于x∈R都成立，即[a＋(a－2)x－x2]e x≤0恒成立，由e x>0，x2－(a－2)x－a≥0对于x∈R都恒成立，故由Δ＝(a－2)2＋4a≤0，整理得a2＋4≤0，显然不成立，所以，f(x)不能为R上的单调递减函数．综上，可知函数f(x)不可能为R上的单调函数．22.【答案】（1）f(x)的值域为[2，＋∞)．（2）a>1或a<－3.【解析】(1)由题意得，当a＝2时，∵f(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴f(x)的值域为[2，＋∞)．(2)由g(x)＝|x＋1|，不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立，有|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min>2.而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，∴|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.。