专题3.8 欲证直线过定点,结合特征方程验【题型综述】直线过定点的解题策略一般有以下几种:(1)如果题设条件没有给出这个定点,那么,我们可以这样思考:由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立,那么我们根据特殊情况先找到这个定点,再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算,找出参数之间的关系,并在计算过程中消去部分参数,将直线方程化为点斜式方程,从而得到定点.(3)若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程,观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征,即可找出直线所过顶点坐标,并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【典例指引】类型一椭圆中直线过未知顶点问题例1 【2017课标1,理20】已知椭圆C:2222=1x ya b(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,3),P4(1,3)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.类型二 椭圆中直线过已知定点问题例2. 【2017课标II ,理】设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2212x y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =。
(1) 求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=,证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
【解析】(1)设出点P 的坐标,利用2=NP NM 得到点P 与点,M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=。
(2)由题意知()1,0F -。
设()()3,,,Q t P m n -,则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-, ()(),,3,OP m n PQ m t n ==---。
由1=OP PQ 得2231m m tn n --+-=,又由(1)知222m n +=,故330m tn +-=。
所以0=OQ PF ,即⊥OQ PF 。
又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
类型三 点在定直线上问题例3【2016高考山东理数】平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()222210x y a b a b+=>> 3,抛物线E :22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. (I )求椭圆C 的方程;(II )设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . (i )求证:点M 在定直线上;(ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ,PDM △的面积为2S ,求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ,联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ,由0>∆,得520+<<m 且1442321+=+m m x x ,因此142223210+=+=m m x x x ,(ii )由(i )知直线l 方程为22m mx y -=,令0=x 得22m y -=,所以)2,0(2m G -, 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m , 所以)1(41||2121+==m m m GF S , )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S , 所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S , 令122+=m t ,则211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S ,当211=t ,即2=t 时,21SS 取得最大值49,此时22=m ,满足0>∆,所以点P 的坐标为)41,22(,因此12S S 的最大值为49,此时点P 的坐标为)41,22(.类型四 抛物线中直线过定点问题例4.【2013年高考理科陕西卷】已知动圆过定点A(4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P, Q, 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.【扩展链接】1. 对任意圆锥曲线,过其上任意一点作两条直线,若直线斜率之积为定值,两直线交圆锥曲线于B A , 两点,则直线AB 过定点.2.已知AB 为过抛物线2y =)0(2>p px 的焦点F 的弦,),(),,(2211y x B y x A ,则p x x AB ++=21||.3.已知AB 为过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点F 的弦,),(),,(2211y x B y x A ,则||2||21x x e a AB +-=.4.已知直线)(00x x k y y -=-,当k 变动时,直线恒过定点),(00y x .【同步训练】1.已知椭圆的离心率e=,左、右焦点分别为F1、F2,定点,P(2,),点F2在线段PF1的中垂线上.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M、N两点,直线F2M、F2N的倾斜角分别为α、β且α+β=π,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.【思路点拨】(1)由椭圆的离心率求得a=c,且丨F1F2丨=丨PF2丨,利用勾股定理即可求得c及a和b 的值;(2)将直线代入椭圆方程,利用直线的斜率公式求得=,=,由+=0,结合韦达定理,即可求得m=﹣2k.则直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0).且=,=由已知α+β=π,得+=0,即+=0,化简,得2kx1x2+(m﹣k)(x1+x2)﹣2m=0,∴2k×﹣(m﹣k)()﹣2m.整理得m=﹣2k.∴直线MN的方程为y=k(x﹣2),∴直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0).2.已知焦距为2的椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点为A,直线y=与椭圆C交于P、Q两点(P在Q的左边),Q在x轴上的射影为B,且四边形ABPQ是平行四边形.(1)求椭圆C的方程;(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M,N.(i)若直线l过原点且与坐标轴不重合,E是直线3x+3y﹣2=0上一点,且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形,求k的值(ii)若M是椭圆的左顶点,D是直线MN上一点,且DA⊥AM,点G是x轴上异于点M的点,且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点,求证:点G是定点.【思路点拨】(1)由题意可得c=,直线y=代入椭圆方程,求得P,Q的横坐标,可得|AB|,由四边形ABPQ是平行四边形,可得|AB|=|PQ|,解方程可得b,由a,b,c的关系可得a,进而得到椭圆方程;(2)(i)由直线y=kx代入椭圆方程,求得M的坐标,由△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形,可设E(m,﹣m),求出E到直线kx﹣y=0的距离d,由题意可得OE⊥MN,|OM|=d,解方程可得k的值;(ii)由M(﹣2,0),可得直线MN的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程,可得x的方程,运用韦达定理,可得N的坐标,设G(t,0),(t≠﹣2),由题意可得D(2,4k),A(2,0),以DN为直径的圆恒过直线AN 和DG的交点,可得AN⊥DG,运用两直线垂直的条件,可得斜率之积为﹣1,解方程可得t=0,即可得到定点.(ii)证明:由M(﹣2,0),可得直线MN的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程可得,(1+2k2)x2+8k2x+8k2﹣4=0,可得﹣2+x N=﹣,解得x N=,y N=k(x N+2)=,即N(,),设G(t,0),(t≠﹣2),由题意可得D(2,4k),A(2,0),以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点,可得AN⊥DG,即有k AN•k DG=﹣1,即为•=﹣1,解得t=0.故点G是定点,即为原点(0,0).3.已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点(1,),且离心率e=(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E的右顶点为A,若直线l:y=kx+m与椭圆E相交于M、N两点(异于A点),且满足MA⊥NA,试证明直线l经过定点,并求出该定点的坐标.【思路点拨】(1)由题意的离心率公式e=,求得a=2c,b2=3c2,将点代入椭圆方程,即可求得a和b的值,即可求得椭圆C的标准方程;(2)将直线方程代入椭圆方程,由题意可知•=0,由向量数量积的坐标运算及韦达定理,即可求得m 和k的关系,代入即可求得直线恒过定点.∴++2×+4=0,化简得,7m2+4k2+16mk=0解得m=﹣2k或m=﹣且均满足3+4k2﹣m2>0当m=﹣2k时,L:y=k(x﹣2),直线过定点(2,0)与已知矛盾;当m=﹣时,L;y=k(x﹣),直线过定点(,0),综上,直线l过定点,定点坐标为(,0).4.已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为圆F1、F2,M是C上一点,|MF1|=2,且.(1)求椭圆C的方程;(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于不同两点A,B时,线段AB上取点Q,且Q满足,证明点Q总在某定直线上,并求出该定直线.【思路点拨】(1)由已知得a=2c,且,由余弦定理求出c=1.由此能求出椭圆C的方程.(2)设直线l的方程为y=kx+(1﹣4k),代入椭圆方程,得(3+4k2)x2+(8k﹣32k2)x+64k2﹣32k﹣8=0,由此利用韦达定理、向量,结合已知条件能证明点Q总在某定直线上,并求出该定直线.5. 已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),离心率e=,点P(,1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)过C的右焦点F作两条弦AB,CD,满足⋅=0,且=2,=2,求证:直线MN过定点,并求出此定点.【思路点拨】(1)由a=c,则b2=a2﹣c2=2c2,将P代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程.(2)然后分弦AB,CD的斜率均存在和弦AB或CD的斜率不存在两种情况求解.当斜率均存在时,写出直线AB的方程,代入椭圆方程后化简,利用根与系数关系求得M坐标,同理求得N的坐标.进一步分k≠±1和k=±1求得直线MN的方程,从而说明直线MN过定点,当弦AB或CD的斜率不存在时,易知,直线MN为x轴,也过点(,0).则x1+x2=,x1x2=,∴x0==,y0=k(x0﹣1)=﹣,于是M(,﹣).∵CD⊥AB,∴将点M坐标中的k换为﹣,即得点N(,).①当k≠±1时,直线MN的方程为y﹣=﹣(x﹣).令y=0,得x=,则直线MN过定点(,0);②当k=±1时,易得直线MN的方程x=,也过点(, 0).当弦AB或CD的斜率不存在时,易知,直线MN为x轴,也过点(,0).综上,直线MN必过定点(,0).6.已知椭圆C:x2+4y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)椭圆C的长轴的两个端点分别为A,B,点P在直线x=1上运动,直线PA,PB分别与椭圆C相交于M,N两个不同的点,求证:直线MN与x轴的交点为定点.【思路点拨】(1)求得椭圆的标准方程,则a=2,b=1,则c=,利用椭圆的离心率公式,即可求得椭圆C 的离心率;(2)设P(1,t),由已知条件分别求出M,N的坐标,设定点为Q,再由k MQ=k NQ,能证明直线MN经过一定点Q(4,0).7.在直角坐标系xOy 中,F,A,B 分别为椭圆的右焦点、右顶点和上顶点,若(1)求a的值;(2)过点P(0,2)作直线l 交椭圆于M,N 两点,过M 作平行于x 轴的直线交椭圆于另外一点Q,连接NQ,求证:直线NQ 经过一个定点.【思路点拨】(1)由题意得:,解得a;(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l 的方程为y=kx+2,将y=kx+2 代入椭圆方程得(3+4k2)x2+16kx+4=0,,直线NQ 的方程,由对称性可知,若过定点,则必在y 轴上,令x=0,即可.8.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()3,0F ,其左顶点在圆22:12O x y +=上. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线():30l x my m =+≠交椭圆C 于,M N 两点,设点N 关于x 轴的对称点为1N (点1N 与点M 不重合),证明:直线1N M 过x 轴上的一定点,并求出定点坐标.【思路点拨】(1)利用点在椭圆上和几何要素间的关系求其标准方程;(2)联立直线和椭圆的标准方程,得到关于y 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到直线的点斜式方程,再利用赋值法进行求解.【详细解析】(1)∵椭圆的左顶点A 在圆2212x y +=上,∴又∵椭圆的一个焦点为,∴ ∴∴椭圆的方程为9.已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=﹣1相切.(1)求圆心M的轨迹方程;(2)动直线l过点P(0,﹣2),且与点M的轨迹交于A、B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.【思路点拨】(1)由题意可知圆心M的轨迹为以(0,1)为焦点,直线y=﹣1为准线的抛物线,根据抛物线的方程即可求得圆心M的轨迹方程;(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx﹣2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(﹣x2,y2).代入抛物线方,由韦达定理及直线直线AC的方程为:y﹣y2=﹣(x+x2),把根与系数的关系代入可得4y=(x2﹣x1)x+8,令x=0,即可得出直线恒过定点.【详细解析】(1)∵动点M到直线y=﹣1的距离等于到定点C(0,1)的距离,∴动点M的轨迹为抛物线,且=1,解得:p=2,∴动点M的轨迹方程为x2=4y;(2)证明:由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx﹣2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(﹣x2,y2).联立,化为x2﹣4kx+8=0,10.已知F是抛物线C:x2=4y的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线C上不同的两点,l1,l2分别是抛物线C在点A、点B处的切线,P(x0,y0)是l1,l2的交点.(1)当直线AB经过焦点F时,求证:点P在定直线上;(2)若|PF|=2,求|AF|•|BF|的值.【思路点拨】(1)当直线AB经过焦点F时,求出切线PA,PB的方程,可得P的坐标,即可证明:点P在定直线上;(2)设直线AB的方程为y=kx+m,代入C:x2=4y得x2﹣4kx﹣4m=0,求出P的坐标,利用韦达定理,即可求|AF|•|BF|的值.【详细解析】(1)证明:抛物线,则,∴切线PA的方程为,即,同理切线PB的方程为,联立得点P,设直线AB的方程为y=kx+1,代入C:x2=4y得x2﹣4kx﹣4=0.所以x1x2=﹣4所以点P在直线y=﹣1上;(2)证明:设直线AB的方程为y=kx+m,代入C:x2=4y得x2﹣4kx﹣4m=0.x1+x2=4k,x1x2=﹣4m,所以P(2k,﹣m),,=﹣4mk2+4k2(m+1)+4﹣4k2=4.11.已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x=﹣2的距离小1,动点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线l:y=kx+m(km<0)与曲线E相交于A,B两个不同点,且,证明:直线l经过一个定点.【思路点拨】(1)根据抛物线的定义,即可求得曲线E的方程;(2)设直线l的方程,代入抛物线方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得m=﹣5k,即可求得直线l的方程,则直线l必经过定点(5,0).12..已知动点(),M x y 满足:()()22221122x y x y ++-+=(1)求动点M 的轨迹E 的方程;(2)设过点()1,0N -的直线l 与曲线E 交于,A B 两点,点A 关于x 轴的对称点为C (点C 与点B 不重合),证明:直线BC 恒过定点,并求该定点的坐标.【思路点拨】(1)动点M 到点()1,0P -, ()1,0Q 的距离之和为2,且22PQ <M 的轨迹为椭圆,从而可求动点M 的轨迹E 的方程;(2)直线l 的方程为: ()1y k x =+,由()221{ 12y k x x y =++=得()2222124220k x k x k +++-=,,根据韦达定理可得 1221212x y x y x x +=-,直线BC 的方程为21212y y y x x x +=--,即可证明其过定点.。