(a2 1)z a(z 1 )( z a)
z
a
收敛域： az 1,且 a 1 即：a z 1
z
a
极点为： z a, z 1 零点为： z 0, z a
1. 求以下序列的z变换并画出零极点图和收敛域。
(1) x(n) a n ( | a | 1)
(3)
x(n)
1
n
u(n
1)
0.447 (1.62)n u(n 1) (0.62)n u(n)
从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。
17．设 x(n)是一离散时间信号，其z变换为X (z) ，利用X (z)求信号x3 (n) x(2n)
的z变换：
解：令m 2n则Y (z)
x(2n)zn
m
x(m)z 2
(1) 1/2 < | Z | < 3/4 , 为双边序列;
(2) | Z | < 1/2 , 为左边序列;
(3) | Z | > 3/4 ， 为右边序列.
3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X (z)的z反变换
1 1 z1
(1)
X
(
z)
1
2 1
z
2
,
4
z 1 2
(3) X (z) z a , z 1
DTFT[x1(n)] X (e j ) (e j e j ) 2X (e j ) cos
X (e j ) DTFT xn xne jn
n
X (e j ) DTFT x n x ne jn
n
x m e jm x m e jm X (e j )
m
m
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳
定的（非因果）系统的单位抽样响应。
解：(c) 要使系统稳定，收敛区域应包括单位圆,因此选 H (z)的收敛区域为
e jnd
DTFTxn X e j xne jn
n
11．已知 x(n) 有傅里叶变换 X (e j )，用 X (e j ) 表示信号 x1(n) x(1 n) x(1 n) 的傅里叶变换。
解： DTFTx(n) X (e j )
DTFT x(n) X (e j )
DTFT x(1 n) e j X (e j ) DTFT x(1 n) e j X (e j )
a2 z a1 ，即 0.62 z 1.62
，则
H (z)
a1
1 a2
z
z a1
z
z a2
式中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。
所以
H(z)
a1
1 a2
1
a1n z n
n
a2
n
z
n
n0
则有
h(n) 1 a2 a1
a1n u(n 1) a2n u(n)
所以
H(z)
Y (z) X (z)
1
z 1 z 1
z
2
z (z a1)(z a2 )
零点为z=0，z
极点为 z a1 0.5 1 5 1.62 z a2 0.5 1 5 0.62
因为是因果系统，所以|z|>1.62是其收敛区域。
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳
定的（非因果）系统的单位抽样响应。
解：(a) 对差分方程的两边作Z变换，得： Y (z) z1Y (z) z2Y (z) z1X (z)
a2 )
a1
a2
z
a1
z
a2
a1
1 a2
1
1
a1z
1
1
1 a2
z
1
a1
1 a2
a1n zn
n0
a2n
z
n
n0
所以 h(n) 1 a1 a2
a1n a2n
u(n)
式中 a1 1.62
, a2 0.62
由于 H (z) 的收敛区域不包括单位圆，故这是个不稳定系统。
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
(1) X (e j0 ) 解：
(2) X (e j )d
(3)
X (e j )
2
d
(2) X (e j )d X (e j )e j0d 2 x(0) 4
x(n) 2
1 -3
7
n
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 8
-1
DTFT
1
X
e j
x
n
1 2
X
e j
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳
定的（非因果）系统的单位抽样响应。
12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
X (z) z a a 1 a2 z z(1 az) z 1 az
则 X (z) a (a 1) 1
a 1 1 z 1 a
所以
x(n)
(a)
(n)
(a
1)
1
n
u(n)
a a
1
(n)
(a
1
)
1
n
u(n
1)

a
a a
7. 求序列 eanu(n) 的频谱 X (e j ) 。
解：（2） X (z) ZT eanu(n)
特殊情况有 ：z Rx , n n2 0 (4) 双边序列的收敛域为 ：Rx z Rx
有三种收敛域 ：圆内、圆外、环状（ 0，z 要单独讨论 ）
2 . 假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问可能有多少不同的收敛域。
1 1 z2
X (z)
4
(1 1 z 2 )(1 5 z 1 3 z 2 )
n
m2k
由此可设 x(m) 1 1 (1)m x(m) 2
则：Y (z)
1 1 (1) m
m
x(m) z 2
m 2
1 2
m
x(m)z 2
m
1 2 m
x(m)
1
z2
m
1
X
1
(z 2
)
X
(z
1 2
)
2
2
当
n
0 时， 1
1 1
z 1
z n1
1 z
1 2
zn
2
在c内有
z
1 2
一个单极点, 则
x(n)
Re
s
z
zn
1 2
z
1 2
1 n , 2
n0
由于 x(n) 是因果序列 ， 故 n 0时，x(n) 0
所以
x(n)
1 n
u(n)
2
3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X (z)的z反变换
1 1 z1
(1)
X
(
z)
1
2 1
z
2
,
z 1 2
(3) X (z) z a , 1 az
4
解：（3）(ii)留数定理法：
z 1 a
x(n) 1 X (z)z n1dz ，设 c 为 z 1 内的逆时针方向闭合曲线。
2j c
a
当 n 0 时：X (z)zn1在 c内有 z 1 一个单极点 a
1 az
a
3.用长除法,留数定理,部分分式法求以下X (z)的z反变换
1 1 z1
(1)
X
(
z)
1
2 1
z
2
,
4
z 1 2
(3) X (z) z a , z 1
1 az
a
解：（1）(ii)留数定理法：
x(n) 1
2j
c
1
1 1
z 1
z n1dz
,设 c为 z 1 内的逆时针方向闭合曲线： 2
4
48
解 : 对X(Z)的分子和分母进行因式分解得
(1 1 Z 1)(1 1 Z 1)
1 1 Z 1
X (Z)
2
2
(1 1 Z 2 )(1 1 Z 1)(1
3 Z 1)
(1
1
2 jZ 1)(1 1
jZ 1 )(1
3 Z 1 )
4
2
4
2
2
4
X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4， 所以 X(Z)的收敛域为 :
1
1 ea
z
1
1 X (e j ) X (z) |ze j 1 eae j
X (e j ) DTFT x n x n e jn eane jn
n
n0
10. 设 X (e j ) 是如下图所示的信号x(n) 的傅里叶变换，
不必求出 X (e j ) ，试完成下列计算：
2
解:（3）
X (z)
( 1 )n u(n 1) zn
1
( 1)n zn
n 2