数列测试题及答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为A．6 B．7 C．8 D．9解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6.答案：A2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是A.12 B．1 C．2 D．3解析：由Sn＝na1＋nn－12d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故选C.答案：C3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－ann∈N*，则a2 011等于A．1 B．－4 C．4 D．5解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…故{an}是以6为周期的数列，∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1.答案：A4．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是A．d＜0 B．a7＝0C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.又S7＞S8，∴a8＜0.假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2a7＋a8＞0.∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成立，故S9＜S5.∴C错误.答案：C5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q的值为A．－12 B.12C．1或－12 D．－2或12[解析：设首项为a1，公比为q，则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意．当q≠1时，a11－q31－q＝3a1q2，∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0，解得q＝1舍去，或q＝－12.综上，q＝1，或q＝－12.答案：C6．若数列{an}的通项公式an＝5 252n－2－425n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y等于A．3 B．4 C．5 D．6解析：an＝5252n－2－425n－1＝525n－1－252－45，∴n＝2时，an最小；n＝1时，an最大．此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3.答案：A7．数列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2n∈N *，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是A．a21a22 B．a22a23 C．a23a24 D．a24a25解析：∵3an＋1＝3an－2，∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23.∴an＝a1＋n－1d＝15－23n－1．令an＞0，即15－23n－1＞0，解得n＜23.5.又n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，而a24＜0，∴a23a24＜0.答案：C8．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为A．1.14a B．1.15aC．11×1.15－1a D．10×1.16－1a解析：由已知，得每年产值构成等比数列a1＝a，wan＝a1＋10%n－11≤n≤6．∴总产值为S6－a1＝11×1.15－1a.答案：C9．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最大值为A．25 B．50 C．1 00 D．不存在解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10. ∴a7＋a14＝10.又a7＞0，a14＞0，∴a7a14≤a7＋a1422＝25.答案：A10．设数列{an}是首项为m，公比为qq≠0的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSnA．在直线mx＋qy－q＝0上B．在直线qx－my＋m＝0上C．在直线qx＋my－q＝0上D．不一定在一条直线上解析：an＝mqn－1＝x，①S2nSn＝m1－q2n1－qm1－qn1－q＝1＋qn＝y，②由②得qn＝y－1，代入①得x＝mqy－1，即qx－my＋m＝0.答案：B11．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：2，4,6，8,10,12，…，第n组有n 个数，则第n组的首项为A．n2－n B．n2＋n＋2C．n2＋n D．n2－n＋2解析：因为前n－1组占用了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋n－1＝n－1n2项，所以第n组的首项为数列2,4,6，…的第n－1n2＋1项，等于2＋n－1n2＋1－12＝n2－n＋2.答案：D12．设m∈N*，log2m的整数部分用Fm表示，则F1＋F2＋…＋F1 024的值是A．8 204 B．8 192C．9 218 D．以上都不对解析：依题意，F1＝0，F2＝F3＝1，有2 个F4＝F5＝F6＝F7＝2，有22个．F8＝…＝F15＝3，有23个．F16＝…＝F31＝4，有24个．…F512＝…＝F1 023＝9，有29个．F1 024＝10，有1个．故F1＋F2＋…＋F1 024＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝21－291－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2，∴T＝8×210＋2＝8 194， m]∴F1＋F2＋…＋F1 024＝8 194＋10＝8 204.答案：A第Ⅱ卷非选择共90分二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若数列{an} 满足关系a1＝2，an＋1＝3an＋2，该数列的通项公式为__________．解析：∵an＋1＝3an＋2两边加上1得，an＋1＋1＝3an＋1，∴{an＋1}是以a1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列，∴an＋1＝33n－1＝3n，∴an＝3n－1.答案：an＝3n－114．已知公差不为零的等差数列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，则M与N的大小关系是__________．解析：设{an}的公差为d，则d≠0.M－N＝anan＋3d－[an＋dan＋2d]＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N.答案：M＜N15．在数列{an}中，a1＝6，且对任意大于1的正整数n，点an，an－1在直线x－y＝6上，则数列{ann3n＋1}的前n项和Sn＝__________.解析：∵点an，an－1在直线x－y＝6上，∴an－an－1＝6，即数列{an}为等差数列．∴an＝a1＋6n－1＝6＋6n－1＝6n，∴an＝6n2.∴ann3n＋1＝6n2n3n＋1＝6nn＋1＝61n－1n＋1∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1.答案：6nn＋116．观察下表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…则第__________行的各数之和等于2 0092.解析：设第n行的各数之和等于2 0092，则此行是一个首项a1＝n，项数为2n－1，公差为1的等差数列．故S＝n×2n－1＋2n－12n－22＝2 0092，解得n＝1 005.答案：1 005三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．10分已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1n∈N*，令bn＝an－2. 1求证：{bn}是等比数列，并求bn；2求通项an并求{an}的前n项和Sn.解析：1∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12，∴{bn}是等比数列．∵b1＝a1－2＝－32，∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n.2an＝bn＋2＝－32n＋2，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3. 18．12分若数列{an}的.前n项和Sn＝2n.1求{an}的通项公式；2若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋2n－1，且cn＝anbnn，求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.解析：1由题意Sn＝2n，得Sn－1＝2n－1n≥2，两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1n≥2．当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2.∴an＝2 n＝1，2n－1 n≥2.2∵bn＋1＝bn＋2n－1，∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，…bn－bn－1＝2n－3.以上各式相加，得bn－b1＝1＋3＋5＋…＋2n－3＝n－11＋2n－32＝n－12.∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n，∴cn＝－2 n＝1，n－2×2n－1 n≥2，∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋n－2×2n－1，∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋n－2×2n.∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－n－2×2n＝21－2n－11－2－n－2×2n＝2n－2－n－2×2n＝－2－n－3×2n.∴Tn＝2＋n－3×2n.19．12分已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．1求数列{an}的通项公式；2若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．解析：1依题意，得3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，a1＋3d2＝a1a1＋12d，解得a1＝3，d＝2.∴an＝a1＋n－1d＝3＋2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1.2由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝22＋1＋23＋1＋…＋2n＋1＋1＝41－2n1－2＋n＝2n＋2－4＋n.20．12分设数列{an}的前n项和为Sn，且ban－2n＝b－1Sn.1证明：当b＝2时，{an－n2n－1}是等比数列；2求通项an. 新课标第一网解析：由题意知，a1＝2，且ban－2n＝b－1Sn，ban＋1－2n＋1＝b－1Sn＋1，两式相减，得ban＋1－an－2n＝b－1an＋1，即an＋1＝ban＋2n.①1当b＝2时，由①知，an＋1＝2an＋2n.于是an＋1－n＋12n＝2an＋2n－n＋12n＝2an－n2n－1.又a1－ 120＝1≠0，∴{an－n2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．2当b＝2时，由1知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝n＋12n－1当b≠2时，由①得an ＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n＝ban－12－b2n，因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝21－b2－bbn.得an＝2， n＝1，12－b[2n＋2－2bbn－1]，n≥2.21．12分某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线．经计算，如果有20辆大型翻斗车同时作业25小时，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作．问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防线，请说明理由．解析：设从现有这辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列{an}，则an－an －1＝－13.所以各车的工作时间构成首项为24，公差为－13的等差数列，由题知，24小时内最多可抽调72辆车．设还需组织n－1辆车，则a1＋a2＋…＋an＝24n＋nn－12×－13≥20×25.所以n2－145n＋3 000≤0，解得25≤n≤120，且n≤73.所以nmin＝25，n－1＝24.故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24小时内完成第二道防线．22．12分已知点集L＝{x，y|y＝mn}，其中m＝2x－2b,1，n＝1,1＋2b，点列Pnan，bn在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*.1求数列{an}，{bn}的通项公式；3设cn＝5nan|PnPn＋1|n≥2，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值．解析：1由y＝mn，m＝2x－2b,1，n＝1,1＋2b，得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1.∵P1为L的轨迹与y轴的交点，∴P10,1，则a1＝0，b1＝1.∵数列{an}为等差数列，且公差为1，∴an＝n－1n∈N* ．代入y＝2x＋1，得bn＝2n－1n∈N*．2∵Pnn－1,2n－1，∴Pn＋1n,2n＋1．＝5n2－n－1＝5n－1102－2120.∵n∈N*，3当n≥2时，Pnn－1,2n－1，∴c2＋c3＋…＋cn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.感谢您的阅读，祝您生活愉快。