塑性力学讲义-全量理论与增量 理论
§4-1 建立塑性本构关系的基本要素
描述塑性变形规律的理论可分为两大类： 一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变 全量之间的关系即全量理论；另一类理论认 为在塑性状态下是塑性应变增量（或应变率 和应力及应力增量（应力率）之间的关系即 增量理论或流动理论。
为了建立塑性本构关系，需要考虑三个要 素： 1、初始屈服条件；
加载到
，1，5.5重3M新P 进a f入屈0 服。在此
过程中塑性应变保持不变为
P 0故.00在2 时1，5.5 对3M 应P 的应a变为
0.0032 320.00123
当应力
，将E 产生压缩塑性变形，在
此阶段， 塑性15 应.53变M增P量a为
其绝对值是
，累积塑性应(变P为0.00)20
0.002P
拉伸加载至 P 0.0，0然2后卸载并方向加载，
针对下面两种情况，求出方向加载中的应
力—应变关系。
（1）随动强化；（2）等向强化。
/ MPa
200
100 2
1
随动强化
3
/ 10 3
等向强化
解：（1）随动强化 P 时0.0，0相2 应的应力和应变分别为
24.5M 6 P , a0.003232
e ij
（S ijG即剪切j
S ij 2G
即2
1 G
）
上式自乘求和后开方得：
2G
SijSij eklekl
J2 J2
13i2 2i 43i2 3i
i2 3 S iS jij , i3 2 e ie jij ,J 2 1 2 S iS jij ,J 2 1 2 e ie jij
k P s m (P )n
当应力24.56M ，材P料a进入压缩硬化，等向
硬化的加载条件为
kd P s m (P ) n
于是，应力—应变关系为
1
eP 0.00 4 20 0.3 0
200000 300
§4-4 全量理论的基本方程 及边值问题的提法
全量理论的边值问题及解法 设在物体V内给定体力 f i，在应力边界 上ST 给 定面力 ，f i在位移边界 上S给u 定 ，要u i 求物体 内部各点的应力 、应 变ij 、位 移ij 。确定u i 这 些未知量的基本方程组有：
一、全量理论的基本假设 1、体积的改变是弹性的，且与静水应力成 正比，而塑性变形时体积不可压缩。
e ii 1 E 2 ii , P 0
2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴,即，
eij Sij
3、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何，
对于同一种材料来说，应力强度是应变强度
的确定函数i i， 是与Mises条件相应的。
1
eP 0.00 4 10 0.3 7
200000 300
（2）等向强化
当应力从24.56开M始P减a小到
24.56MP
材料重新进入屈服。在此过程中塑性应变保
持不变为 P 0，.00仅2产生弹性应变，因此，
在 24.5时6M ，P 对应a的应变为
0.0032320.000767
E
由此可得强化（硬化）函数为
在 的比值保持不变条件下进入塑性状态
到
s
s
E
,s，G用s 全量理论求筒中的应力。
解：（一）由全量理论
eij
ii
3 i 2 i
Sij , i
1
2
E
ii
i
（1）
第二式可以写为 m3Km
其中
K
E
312
第一式，且 0.5,，ijeij
故
ij
3 2
或ii Sij
Sij
2 i 3 i
ij
又因为 S zzm z 1 3z 3 2,S zz
dP 0 .0 0 0 .0 2 0 P 2 0 .0 0 P4
背应力应为
P
b46 .5
mn0.004P d n1 P
0.002
933000.004P0.3
代入加载条件 b得s ：0
b s 1 0 30 7 0 .0 0 0 P 0 .3 4
因此，导出的应力—应变关系为
（ i Ei，1单拉时
）E1
ii
1 2 E
ii
全量型塑性 本构方程为
e ij
3 i 2 i
S ij
i i
（其中
i
3 2
SijSij,）i
2 3
eijeij
二、依留申小弹塑性形变理论
1943年，依留申考虑了与弹性变形同量
级的塑性变形，给出了微小弹塑性变形下的
应力—应变关系
在弹性阶段：
2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一 流动法则。即要有一个应力和应变（或它们 的增量）间的关系，此关系包括方向关系和 分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关 系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的 强化条件，即加载函数。有了这个条件才能 确定应力、应变或它们的增量之间的定量关 系。
应力—应变的全量关系，而又不包含历史的 因素，只有在某些特殊加载历史下才有可能 因此，这种关系只能在特定条件下应用。
以0代.5 入 i Ei1 得到 i 3G i1
则 Sij2G 1eij
这是全量理论的另一种表达形式。
例4-1、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若
材料为理想弹塑性，且 0。.5设拉力为P，扭 矩为M，筒的平均半径为r，壁厚为t。于是
筒内应力为均匀应力状态，有
z
2Prt,z
M
2r2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转，
又 s3 G s,sG s3 s G 13sG
分别代入（4）得到
s
s
3G
2
1 3
s
2
3G
s
3G
s
2
0.707s
3
s
s
3G
2
1 3
s
3G
2
s
3G
s
6
0.408s
例4-2、如图所示，简单拉伸下材料的应力 应变关系曲线可用幂指数硬化模型表示为
EsmPn
0s s
式中 s 2M 0 ,E 0 P 2G 0 a ,m 。 0 P 3M a 0 ,n 0 0 P .3a
塑性模量的表达式为
EPmnPn1
在P 0.时00的2背应力为
b 0 0 .00 m 2P n n 1 dP m P n0 0 .00 4 2.5 M 6 P
此时，加载条件变为
f 4.5 6 s 4.5 6 20 00
当应力从 24.56开M始P卸a载， ，f直到0 反向
其展开式为
i , i
i
3i
又由于r 1 2 z 1 2 ,z1 2 z1 2
故
i
2 1 2 （2）
3
（二）对于理想塑性材料： i s （3）
将（2）、（3）代入式（1），得到
s , s
212
3（42）12
3
3
（三）在简单加载条件下，材料进入塑性时
各应变分量同时达到屈服，即 s,，s