成都七中2016届二诊模拟试题数学（理工农医类）命题：高三理科数学命题组审题：高三理科数学命题组一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{| 20}A x x x =--≤，={|1,}B x x x Z <∈，则A B =I () A. [)1,1- B.[]1,2- C.{}1,0-D.{}0,12.在复平面上，复数2ii+的共轭复数对应的点在() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设,a b r r 为两个非零向量，则“a b a b ⋅=⋅r r r r”是“a r 与b r 共线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下面四个命题中错误．．的是() A.若,,a b a b αα⊥⊥⊄，则b //αB.若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ C.若,a βαβ⊥⊥，则a //α或a α⊆ D.若a //,ααβ⊥，则a β⊥5.设双曲线22 1 x y m n +=的离心率为2，且一个焦点与抛物线218y x =的焦点相同，则此双曲线的方程为()A．221 3xy-=B．2213xy-=C．221124x y-=D．221124y x-=6.某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为()A.32B.327C.64D.6477.如图所示的程序框图中，若2()1f x x x=-+，()4g x x=+，且()h x m≥恒成立，则m的最大值是()A.4B.3C.1D.08.为了缓解二诊备考压力，双流中学高三某6个班级从双流区“棠湖公园”等6个不同的景点中任意选取一个进行春游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“棠湖公园”的不同的安排方式有多少种()A．2456A B．2456C C．2454A A D．2454C A9.如图，(),M MM x y，(),N NN x y，分别是函数()()sinf x Aωxφ=+（0A>，0ω>）的图象与两条直线1:l y m=，2:l y m=-（0A m≥≥）的两个交点，记N MS x x=-，则()S m图象大致是()A．B．C．D．10.已知函数()f x的定义域为()(),00,-∞+∞U，图象关于y轴对称，且当0x<时，第6题图第7题图()()f x f x x '>恒成立，设1a >，则实数()411af a P a +=+，(M =，()411a N a f a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭的大小关系为()A ．P M N <<B ．P M N >>C ． M P N <<D ．M P N >> 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知实数x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为 ．12．61(2)2x x-的展开式中常数项为 ．13.在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是 ．14.已知函数()f x 由右表定义：若15a =，()()1n n a f a n N *+=∈，则2016a = ．15.在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP λOA λR =-∈u u u r u u u r，且72OA OP ⋅=u u u r u u u r ，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 16.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12,a =且1322,,3a a a 成等差数列． （1）求等比数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()22log n n b n a =+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(cos ,sin )2Cm C =u r ，(sin ,cos )2Cn C =r ，且//m n u r r ．（1）求角C 的大小；（2）若2222a b c =+，求A tan 的值．18.某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立． （1）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和数学期望．19.如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，11B C AC ⊥． （1）求1AA 的长．（2）在线段1BB 存在点P ，使得二面角1P A C A --，求1BP BB 的值．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点3(1,)2P ，离心率为21.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同两点,M N ，记1F MN ∆的内切圆的面积为S ，求当S 取最大值时直线l 的方程，并求出最大值．B 1C 1AA 1BCP21.已知二次函数()()221r x ax a x b =--+（,a b 为常数，,0,a R a b R ∈≠∈）的一个零点是12a-.函数()ln g x x =，设函数()()()f x r x g x =-. （1）求b 的值，当0a >时，求函数()f x 的单调增区间； （2）当0a <时，求函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（3）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点()()1122,,A x y B x y ，是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．判断曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ?并说明理由．11、312、20-13、114、415、15 16.解（1）设数列{}n a 的公比为q ，1322,,3a a a Q 成等差数列，123232a a a ∴+=，2111232a a q a q +=，22320q q ∴--=，解得2q =或12q =-，0q >Q ，2q ∴=∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =。

……6分（2）()()22log 2n n b n a n n =+=+Q ()11111222n b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭1211111n n nT b b b b -∴=++++L 11111111111112324352112n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦()23234232n n n +=-++……12分 17解：（1）∵//m n u r r ∴22cos sin 02C C -=∴21cos cos02C C --=……3分整理得：22cos cos10C C +-=，解得：1cos 2C =或cos 1C =-∵(0,)C π∈∴3C π=……6分（2）∵3C π=∴222222cos3c a b ab a b abπ=+-=+-∵2222a b c =+∴22222a b a b ab =++-∵0b >∴3a b =∴c =……9分∴222cos A ==(0,)A π∈∴sin tan cos A A A ==-12分 18.解：（1）25150.5,0.35050a b ====， 依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率0.5p =。

设5天中该种商品有Y 天的销售量为1.5吨,则()5,0.5Y B :， 所以()()3225520.510.50.312516P Y C ==⨯⨯-==。

……6分（2）X 的可能取值为4,5,6,7,8，则()240.20.04P X ===；()520.20.50.2P X ==⨯⨯=；()260.520.20.30.37P X ==+⨯⨯=；()720.30.50.3P X ==⨯⨯=； ()280.30.09P X ===，所以X 的分布列X 4 5 6 7 8 P0.040.20.370.30.09所以() 6.2E X =（千元）……12分19．（1）以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AA t =，则(0,0,0)A ，1(0,4,)C t ，1(3,0,)B t ，(0,4,0)C ∴1(0,4,)AC t =u u u u r ，1(3,4,)BC t =--u u u r 11B C AC ⊥Q 110AC BC ∴=u u u u r u u u r g ，即2160t -=，解得4t =，即1AA 的长为4．……5分 （2）设(3,0,)P m ，又(0,0,0)A ，(0,4,0)C ，1(0,0,4)A1(0,4,4)AC ∴=-u u u r ，1A P =u u u r (3,0,4)m -，且04m ≤≤ 设(,,)n x y z =r 为平面1PA C 的法向量11,n AC n A P ∴⊥⊥r u u u r r u u u r∴4403(4)0y z x m z -=⎧⎨+-=⎩，取1z =，解得41,3my x -==，∴4(,1,1)3mn -=r 为平面1PA C 的一个法向量．……9分 又知(3,0,0)AB =u u u r为平面1A CA 的一个法向量，则2cos ,4311()3n AB m <>=-++r u u u r g∵二面角11P A C A --大小的余弦值为3，∴2334311()3m =-++g ， 解得：1m =114BP BB ∴=……12分20、解：（Ⅰ）由题意得2222291141,,2c a b c a b a +===+解得2,1a b c === 椭圆C 的标准方程为22143x y +=……5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，1F MN ∆的内切圆半径为r ，则11111()8422F MN S MN F M F N r r r ∆=++==g g .所以要使S 取最大值，只需1F MN S ∆最大.112121212F MN S F F y y y y ∆=-=-设直线l 的方程为1x ty =+ 将1x ty =+代入22143x y +=可得22(34)690t y ty ++-=(*) 0∆>Q 恒成立，方程(*)恒有解，1212226,3434t y y y y t t --+==++９1F MNS ∆==记(1)m m =≥ 1212121313F MN m S m m m∆==++在[)1,+∞上递减. 当1max 10)3F MN m t S ∆===即时，（，此时max 9:116l x S π==……13分 21解：（Ⅰ）由12a-是函数2()(21)r x ax a x b =--+的零点可求得0b =. 1()2(12)f x ax a x'=+--22(12)1ax a x x +--=(21)(1)ax x x +-=， 因为0a >，0x >，所以210ax +>，解()0f x '>，得1x >， 所以()f x 的单调增区间为(1,)+∞…………………4分 （Ⅱ）当0a <时，由()0f x '=，得112x a=-，21x =， ①当112a ->，即102a -<<时，()f x 在(0,1)上是减函数， 所以()f x 在1[,1]2上的最小值为(1)1f a =-.②当11122a ≤-≤，即112a -≤≤-时， ()f x 在11[,]22a -上是减函数，在1[,1]2a-上是增函数，所以()f x 的最小值为11()1ln(2)24f a a a-=-+-.③当1122a -<，即1a <-时，()f x 在1[,1]2上是增函数，所以()f x 的最小值为113()ln 2224f a =-+.综上，函数()f x 在1[,1]2上的最小值min13ln 2,12411[()]1ln(2),14211,02a a f x a a aa a ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪--<<⎪⎩，…………………9分（Ⅲ）设00(,)M x y ，则点N 的横坐标为1202x x x +=， 直线AB 的斜率21121y y k x x -=-22121221121[()(12)()ln ln ]a x x a x x x x x x =-+--+--211212ln ln ()(12)]x x a x x a x x -=++-+-，曲线C 在点N 处的切线斜率20001()2(12)k f x ax a x '==+--12122()(12)a x x a x x =++--+，假设曲线C 在点N 处的切线平行于直线AB ，则12k k =， 即211212ln ln 2x x x x x x -=--+，所以22211211212(1)2(x x )ln 1x x x x x x x x --==++，不妨设12x x <，211x t x =>，则2(1)ln 1t t t -=+，令2(1)()ln (1)1t g t t t t -=->+，22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++，所以()g t 在(1,)+∞上是增函数，又(1)0g =，所以()0g t >，即2(1)ln 1t t t-=+不成立， 所以曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB .……………………14分。