数学实验四（概率论）一．用MATLAB 计算随机变量的分布1．用MA TLAB 计算二项分布当随变量(),X B n p 时，在MATLAB 中用命令函数(,,)Px binopdf X n p =计算某事件发生的概率为p 的n 重贝努利试验中，该事件发生的次数为X 的概率。

例1 在一级品率为0.2的大批产品中，随机地抽取20个产品，求其中有2个一级品的概率。

解 在MATLAB 中，输入 >>clear>> Px=binopdf(2,20,0.2) Px =0.1369即所求概率为0.1369。

2．用MA TLAB 计算泊松分布当随变量()X P λ 时，在MATLAB 中用命令函数(,)P poisspdf x lambda =计算服从参数为lambda 的泊松分布的随机变量取值x 的概率。

用命令函数(,)P poisscdf x lambda =计算服从参数为lambda 的泊松分布的随机变量在[]0,x 取值的概率。

例2 用MATLAB 计算：保险公司售出某种寿险保单2500份.已知此项寿险每单需交保费120元,当被保人一年内死亡时,其家属可以从保险公司获得2万元的赔偿(即保额为2万元).若此类被保人一年内死亡的概率0.002,试求:(1)保险公司的此项寿险亏损的概率;(2)保险公司从此项寿险获利不少于10万元的概率; (3)获利不少于20万元的概率.利用泊松分布计算. 25000.0025np λ==⋅=(1) P(保险公司亏本)= ()()15250025000(3020)1(15)10.0020.998kkkk P X P X C -=-<=-≤=-⋅∑=155051!k k e k -=-∑在MATLAB 中，输入 >> clear>> P1=poisscdf(15,5) P1 =0． 9999即 15505!k k e k -=∑= P1 =0．9999故 P(保险公司亏本)=1-0.9999=0.0001(2) P(获利不少于10万元)= ()()10102500250025000(30210)(10)0.0020.998k kk kk k P X P X CC -==-≥=≤=⋅≈∑∑ =10505!k k e k -=∑ 在MATLAB 中，输入 >>P=poisscdf(10,5) P =0.9863即 10505!k k e k -=∑=0.9863（3） P(获利不少于20万元)= ()()525002500(30220)(5)0.0020.998k kk k P X P X C-=-≥=≤=⋅∑ =5505!k k e k -=∑ 在MATLAB 中，输入 >>P=poisscdf(5,5) P =0.6160即 5505!k k e k -=∑= 0.61603．用MA TLAB 计算均匀分布当随机变量(),X U a b 时，在MATLAB 中用命令函数(),,P unifpdf x a b =计算在区间[],a b 服从均匀分布的随机变量的概率密度在x 处的值。

用命令函数 (),,P unifcdf X a b =计算在区间[],a b 服从均匀分布的随机变量的分布函数在X 处的值。

例3乘客到车站候车时间ξ()0,6U ，计算()13P ξ<≤。

解 ()13P ξ<≤()()31P P ξξ=≤-≤ 在MATLAB 中，输入 >>p1=unifcdf(3,0,6) p1 =0.5000>>p2=unifcdf(1,0,6) p2= 0.1667 >>p1-p2 ans = 0. 3333即 ()13P ξ<≤=0.33334．用MA TLAB 计算指数分布当随变量()X E λ 时，在MATLAB 中用命令函数()exp ,P pdf x lamda =计算服从参数为λ的指数分布的随机变量的概率密度。

用命令函数()exp ,P cdf x lamda =计算服从参数为1λ-的指数分布的随机变量在区间[]0,x 取值的概率。

例4 用MA TLAB 计算：某元件寿命ξ服从参数为λ（λ=11000-）的指数分布.3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少?解 由于元件寿命ξ服从参数为λ（λ=11000-）的指数分布， )1000(1)1000(≤-=>ξξP P 在MATLAB 中，输入 >>p=expcdf(1000,1000) p =0． 6321 >>1-p ans =0.3679即 )1000(1)1000(≤-=>ξξP P = 0.3679 再输入>>p2=binopdf(3,3,0.3679) p2 = 0.0498即3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率为0.0498。

5。

用MATLAB 计算正态分布当随变量()2,X N μσ 时，在MATLAB 中用命令函数(),,P normpdf K mu sigma =计算服从参数为,μσ的正态分布的随机变量的概率密度。

用命令函数(),,P normcdf K mu sigma =计算服从参数为,μσ的正态分布的随机变量的分布函数在K 处的值。

例5 用MA TLAB 计算：某厂生产一种设备，其平均寿命为10年，标准差为2年.如该设备的寿命服从正态分布，求寿命不低于9年的设备占整批设备的比例？。

解 设随机变量ξ为设备寿命，由题意)2,10(~2N ξ )9(1)9(<-=≥ξξP P 在MATLAB 中，输入>>clear>> p1=normcdf(9,10,2) p1 =0. 3085 >>1-p1ans = 0.6915二．利用MATLAB 计算随机变量的期望和方差1． 用MATLAB 计算数学期望（1）用MATLAB 计算离散型随机变量的期望通常，对取值较少的离散型随机变量，可用如下程序进行计算：1212[,,,];[,,,];*n n X x x x P p p p EX X P '===对于有无穷多个取值的随机变量，其期望的计算公式为：0()i i i E X x p ∞==∑可用如下程序进行计算：(,0,inf)i i EX symsum x p =例6 一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品5种，相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06及0.04,若其产值分别为6元、5.4元、5元、4元及0元.求产值的平均值解 将产品产值用随机变量ξ表示，则ξ的分布为：产值ξ 6 5.4 5 4 0 概率p 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04产值的平均值为ξ的数学期望。

在MA TLAB 中，输入[]654540.ξ=； []0701*******4p .....=； '*p E ξξ= =ξE54800.即产品产值的平均值为5.48.例7 已知随机变量X 的分布列如下：{}k k X p 21== ,,2,1n k = 计算.EX解 112kk EX k∞==∑ 在MA TLAB 中，输入k syms ；inf),1,,)^2/1(*(k k k symsum=ans2即 2=EX值得注意的是，对案例3.15中简单随机变量，直接用公式计算即可，不一定使用软件计算。

（2）用MATLAB 计算连续型随机变量的数学期望若X 是连续型随机变量，数学期望的计算公式为：()EX xf x dx +∞-∞=⎰程序如下：int(*(),inf,inf)EX x f x =-例8 用MATLAB 计算：假定国际市场上对我国某种商品的年需求量是一个随机变量ξ（单位：吨），服从区间[],a b 上的均匀分布，其概率密度为： 1()0a x bx b aϕ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它计算我国该种商品在国际市场上年销售量的期望.ξE .解 ()1baE xf x dx xdx b aξ∞-∞==-⎰⎰ 在MA TLAB 中，输入;;b a x syms clearξE =int (b a x a b x ,,),/(-) ξE =1/2/(b-a)*(b^2-a^2)即 ξE =()/2a b +（3）用MATLAB 计算随机变量函数的数学期望若()g X 是随机变量X 的函数，则当X 为离散型随机变量且有分布律k k p x X P ==}{n k ,2,1(=或 21，=k ）时，随机变量()g X 的数学期望为：0[()]()k k k E g X g x p ∞==∑其MA TLAB 计算程序为：[()](()*,0,inf)k k E g X symsum g x p =当X 为连续型随机变量且有概率密度)(x ϕ时，随机变量()g X 的数学期望为：⎰∞+∞-=dx x x g x g E )()()]([ϕ其MA TLAB 计算程序为：int(()*(),inf,inf)EX g x f x =-例9 利用MATLAB 计算：假定国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变量X （单位：吨），服从[20,40]上的均匀分布，已知该商品每售出1吨，可获利3万美元，若销售不出去，则每吨要损失1万美元，如何组织货源，才可使收益最大？解 设y 为组织的货源数量，R 为收益，销售量为ξ.依题意有3()3()y R g y ξξξ⎧==⎨--⎩ y y ξξ≥<化简得3()4y g y ξξ⎧=⎨-⎩y y ξξ≥< 又已知销售量ξ服从[20,40]上的均匀分，即12040()20x x ξϕ⎧<<⎪=⎨⎪⎩ 其它于是 ()[()]()()E R E g g x x dx ξϕ+∞-∞==⎰40201()20g x dx =⎰ 402011(4)32020y yx y dx ydx =-+⎰⎰在MA TLAB 命令窗口输入>>;clear syms x y>>EY=1/20*(int((4*x-y),x,20,y)+int(3*y,x,y,40))结果显示1/10*y^2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y) 将其化简，输入命令>>simplify(1/10*y^2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y)) 结果显示-1/10*y^2-40+7*y再对y 在区间[]20,40上求最大值，在命令窗口输入 >>min ('1/10*^27*40',20,40)f bnd x x -+结果显示3.5000e+001即当组织35吨货源时，收益最大。