An An
a1(1) n (2) a2 n (3) a3 n 1
(1) a1, n 1 (2) a2, n 1 (3) a3, n 1 (n) an ,n 1
(1) (1) x1 a12 x2 a13 x3 (2) x2 a23 x3
Y jj yij
Yij Y ji yij
3）在原有网络节点i 和节点j 间切除一条支路
节点导纳阵阶数不变； 与节点i、j有关的元素修正为 Yii yij Y jj yij
Yij Y ji yij
4）原有网络节点i 和节点j 间支路参数发生改变
相当于切除一条原参数的支路，再增加一条新参数的支路
则由节点方程式可知
以之前的简单电力网络说明节点导纳阵各元素的具体意义
y1
4 2
y4
y3
3
y5
y2
5
1
V1 1
y6
Y的特点： 对称性、稀疏性、可逆性
y4 y5 y6 y4 y5 0 0
y4 y1 y3 y4 y3 y1 0
y5 y3 y2 y3 y5 0 y2
AX = B
a11 a A A B 21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann b1 a11 a21 b2 bn an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann a1,n1 a2,n1 an ,n1
ib
5
根据基尔霍夫电流定律， 可列出各节点的电流方程
1
y6
y4 (V2 V1 ) y5 (V3 V1 ) y6V1 0 y1 (V4 V2 ) y3 (V2 V3 ) y4 (V2 V1 ) 0 y2 (V5 V3 ) y3 (V2 V3 ) y5 (V3 V1 ) 0 y1 (V4 V2 ) ia y2 (V5 V3 ) ib
节点导纳阵的修改 5）以上增加或切除的支路是按照只有阻抗的线路来处理的， 如果增加或切除的支路是变压器，有关导纳矩阵元素的修 改为
yT 非零的非对角元素为 Yij Y ji K 节点i的自导纳改变量为 Yii yT
节点j的自导纳改变量为 Y jj
j 0.2
yT K2
例
1
2
j 0.125
3
j 0.25
j 20
j8 j13 j 5 j5 j9 j4 j 4 j11.95 j8
注意：参数为阻抗！
1.3 电力网络方程求解方法
I YV
线性方程组——高斯消去法
高斯消去法求解线性方程组由消去运算（前代运算）和回代 运算两部分组成。
通常采用“消去运算按列进行，回代运算按行进行”的方式。
y2
3
y5
ia
ib
5
1
y6
0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 A 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
节点
关联矩阵中只有0、1、-1三种元素，不包含各支路的具体参数。 由节点关联矩阵可以惟一地确定网络的接线图。
如果在节点i 加一单位电压， I1 Y1i 而把其余节点全部接地，即 I 2 Y2i Vi 1
V j 0( j 1, 2, , n, j i )
I i Yii I n Yni
Y第i 列元素的物理意义
互导纳，数值上等于节点 i 加单位电压，其他节点 都接地时，节点j 向电力 网络注入的电流。
电力网络通常是由相应的节点导纳矩阵或节点阻抗矩 阵来描述。
电力网络的导纳矩阵具有良好的稀疏特性，可以用来 高效处理电力网络方程，是现代电力系统分析中广泛 应用的数学模型；节点阻抗矩阵的概念在处理电力网 络故障时有广泛应用。
分析交流电路的方法主要有节点电压法、回路电流法
y1
4
y3
2
y4
y2
3
y5
ia
0 y1 0 y1 0
0 0 y2 0 y2
节点导纳阵的形成 1）节点导纳阵的阶数等于电力网络的节点数； 2）对角元素，即各节点的自导纳，等于与相应节点直接相 连的所有支路的支路导纳之和； 3）非对角元素，即互导纳，等于相应两节点间支路的支路 导纳的负值； 4）变压器支路应先处理为∏型等值电路。 节点导纳阵的修改
(1) aij aij ai1a1(1) j j
, an1 ，
, n 1； i
(1) a1, n 1 (1) a2, n1 (1) an ,n1
, n)
这时增广矩阵变为
A1 A1
(1) 1 a12 (1) a 22 B1 (1) a n2
0V1 y1V2 0V3 y1V4 0V5 ia
0V1 0V2 y2V3 0V4 y2V5 ib
Y11V1 Y12V2 Y13V3 Y14V4 +Y15V5 I1 Y21V1 Y22V2 Y23V3 +Y24V4 +Y25V5 I 2
高等电力系统分析
大连理工大学 电气工程学院 王海霞
2019/3/22
第1章 电力网络的数学模型及求解方法
1.1 基础知识 1.2 节点导纳矩阵 1.3 电力网络方程求解方法 1.4 节点阻抗矩阵
1.1 基础知识
电力网络，是指由输电线路、电力变压器、并（串） 联电容器等静止元件所构成的总体。 从电气角度看，任何复杂的电力网络原则上均可以首 先做出它的等值电路，然后用交流电路理论进行分析 计算。
a1(1) n (1) a2 n
(1) ann
接着消去第二列 首先把增广矩阵的第二行规格化为 (2) (2) 01a23 a2, n1
(2) 式中： a2 j (1) a2 j
a
(1) 22
j
, n 1)
(1) , an 2 ，
(1) _ (1) a a 然后消去第二等值电路
1:K 1:K
Vi
j i
yT
Vj
i
Ii
Ij
j
根据理想变压器的电流、电压关系有 Ii V j Vi yT K 解得 I i KI j
Vi I i
i
yT K
Ij V j
j
yT
yT K
yT yT 2 K K
yT yT I i ( yT )Vi + （Vi V j） K K yT yT yT I j ( 2 )V j (V j Vi ) K K K
现代电力系统分析中，往往需要研究不同接线方式情况下 的运行状态，如某条输电线路或某台变压器的投入或切除， 对某些元件的参数进行修改等。 由于改变一条支路的状态或参数只影响该支路两端节点的 自导纳及其互导纳，因此只需在原导纳阵的基础上进行修 改即可得到所要求的导纳阵。
节点导纳阵的修改 1）在原有网络节点i 引出一条新的支路，同时增加一个新的节点j
消去第一列 首先把增广矩阵的第一行规格化为 (1) (1) (1) 1a12 a13 a1, n1 式中： a
(1) 1j

a1 j a11
j
, n 1)
然后消去第一列对角线以下各元素 a21 a31
结果使第2~n行其他元素化为
节点电压方程 ( y4 y5 y6 )V1 y4V2 y5V3 +V4 +0V5 0
y4V1 ( y1 y3 y4 )V2 y3V3 y1V4 +0V5 0 y5V1 y3V2 ( y2 y3 y5 )V3 0V4 y2V5 0
1.2 节点导纳矩阵
I YV
Y11 Y12 Y Y 21 22 Y Yi1 Yi 2 Yn1 Yn 2 Y1i Y2i Yii Yni Y1n Y2 n Yin Ynn
自导纳，数值上等 于节点i 加单位电压， 其他节点都接地时， 节点i 向电力网络注 入的电流。 反映了电力网 络的参数及接 线情况，是对 电力网络电气 特性的一种数 学抽象
结果使第3~n行其他元素化为
(2) (1) (2) aij aij ai(1) a 2 2 j j
n 1； i
a1(1) n (2) a2 n (2) a3 n
(2) ann (1) a1, n 1 (2) a2, n 1 (2) a3, n 1 (2) an ,n 1
Y31V1 Y32V2 Y33V3 Y34V4 Y35V5 I 3 Y41V1 Y42V2 Y43V3 Y44V4 Y45V5 I 4 Y51V1 Y52V2 Y53V3 Y54V4 Y55V5 I 5
节点电压方程
矩阵形式 I YV
I1 I2 I In
节点电压方程
y1
4
y3
2
y4
y2
3
y5
ia
ib
5
按节点电压整理后， 可写出
1
y6
( y4 y5 y6 )V1 y4V2 y5V3 0 y4V1 ( y1 y3 y4 )V2 y3V3 y1V4 0 y5V1 y3V2 ( y2 y3 y5 )V3 y2V5 0 y1V2 y1V4 ia y2V3 y2V5 ib
( k 1) kk ( k 1) ( k ) ik kj
j k
, n 1)
, n 1； i k 1 , n)