• 若 f(x) 在 x* 可导，则 f `(x*;d) = [f (x*) ]Td .
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
二、凸函数 2、凸函数的性质：
以下设 S Rn 为非空凸集，函数 f :SR 2）若f 凸，则 f 在 S 的内点集上连续；
注： f 在 S 上不一定连续。 例: f(x)＝2(当x=1)； f(x)＝x2 (当x<1) .
一、凸集 1、凸集的概念：
定理：S是凸集S中任意有限点的凸组合属于S 多胞形 H(x(1) , x(2) , … , x(m) )：
由 x(1) , x(2) , … , x(m) 的所有凸组合构成。 单纯形：若多胞形 H(x(1) , x(2) , … , x(m) )满足，
x(2)-x(1) , x(3) -x(1) , … , x(m)- x(1) 线性无关。
3）设f 凸，则对任意方向方向导数存在。 4）设 S 是开集，f 在 S 上可微，则
二、凸函数 1、凸函数及水平集 定义: 设集合 S Rn 为凸集，函数 f :SR
若 x(1), x(2) S, ( 0 , 1 ) ，均有 f( x(1)＋(1- ) x(2) ) ≤f(x(1))+(1- )f(x(2)) ，
则称 f(x) 为凸集 S 上的凸函数。 若进一步有上面不等式以严格不等式成立，则 称 f(x) 为凸集 S 上的严格凸函数。 当- f(x) 为凸函数（严格凸函数）时，则称 f(x) 为 凹函数（严格凹函数）。
二、凸函数 2、凸函数的性质：
1) 方向导数：设 S Rn 为非空凸集，函数 f :SR ， 再设 x* S, d 为方向，使当 > 0 充分小时有 x*+d S, 如果 lim [ f(x*+ d )-f(x*) ] / 存在（包括 ）
则称 f(x) 为在点沿方向的方向导数存在，记
f `(x*;d) = lim [ f(x*+ d )-f(x*) ] /
数？ 2) f(x)= max{ f1(x) , f2 (x) } , g(x)= min{ f1(x) ,
f2 (x) }是否凸函数？
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
二、凸函数 1、凸函数及水平集：
定义：设集合 S Rn ，函数 f :SR， R ，
称 S = { x S∣f(x) ≤ } 为 f(x) 在 S 上 的 水平集。
m
j =1
j =1,
那么称
m
j=1
j x(j)
为x(1),
x(2),
…
,
x(m)的
凸组合。
•
比较:
z
=
m
j=1j
x(j)
jR — 构成线性组合 —— 线性子空间 j≥0 , j >0 — 构成半正组合 —— 凸锥 j≥0 , j (续)
（优选）线性规划问题基本概 念和基本理论
2.1 数学规划模型的一般形式（续）
局部最优解: x*S， x* 的邻域 N(x*) ，使满足 f (x*)≤ f (x), x S N(x*) 。则称 x*为(f S)的局部
最优解,记 l .opt.(local optimum)
在上述定义中，当x x* 时有严格不等式成立，则 分别称 x* 为(f S)的严格全局最优解和严格局部最 优解。
f(x)
，f(x) : RnR
g(x) ≤ 0 , g(x) : RnRm
h(x) = 0 , h(x) : RnRl
当 f(x), gi(x) , hj(x)均为线性函数时，称线性 规划；若其中有非线性函数时，称非线性规划。
2.2 凸集、凸函数和凸规划
一、凸集
1、凸集的概念：
定义：设集合 S Rn，若x(1), x(2)S, [0,1]， 必有 x(1)＋(1- ) x(2) S ，则称 S 为凸集。
严格l .opt .
严格g .opt .
l .opt .
2.1 数学规划模型的一般形式（续）
函数形式: min
(fgh) s.t.
矩阵形式: min
(fgh) s.t.
f(x), gi(x) , hj(x) : RnR
f(x)
gi(x) ≤ 0 , i = 1,2,…,m hj(x) = 0 , j = 1,2,…,l
多胞形
单纯形
单纯形
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
一、凸集 2、凸集的性质： 1) 凸集的交集是凸集；（并？） 2) 凸集的内点集是凸集；（逆命题是否成立？） 3) 凸集的闭包是凸集。 （逆命题是否成立？） 4) 分离与支撑： 凸集边界上任意点存在支撑超平面 两个互相不交的凸集之间存在分离超平面
支撑
强分离
分离
非正常 分离
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
一、凸集 3、凸锥：
定义：C Rn, 若 x C, > 0 有 x C, 则称
C 是以 0 为顶点的锥。如果 C 还是凸集，则 称为凸锥。 集合 { 0 }、Rn 是凸锥。
0
命题：C是凸锥C中任意有限点的半正组合属于S
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
严格凸函数
凸函数
严格凹函数
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
二、凸函数 1、凸函数及水平集：
定理： f(x) 为凸集 S 上的凸函数 S 上任 意有限点的凸组合的函数值不大于各点函 数值的凸组合。
思考：设f1, f2是凸函数，
1) 设1, 2 > 0, 1f1+2f2 , 1f1 - 2f2是否凸函
规定：单点集 {x} 为凸集，空集为凸集。
注: x(1)＋(1- ) x(2) = x(2)＋(x(1)- x(2)) 是连接 x(1)与x(2)的线段 。
凸集
非凸集
非凸集
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)
一、凸集 1、凸集的概念：
例:证明集合 S = { x∣Ax = b } 是凸集。其
中，A为 mn矩阵，b为m维向量。 凸组合：设 x(1) , x(2) , … , x(m) Rn, j≥ 0
定理：设集合 S Rn 是凸集，函数 f :SR是
凸函数，则对 R ，S 是凸集。
注：
1) 水平集的概念相当于在地形图中，海拔高度不高于某一 数值的区域。
2) 上述定理的逆不真。
考虑分段函数f(x)=1(x≥0)或0(x<0)，函数非凸，但
任意水平集是凸集。
2.2 凸集、凸函数和凸规划(续)