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第4章线性规划的基本概念及基本原理

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数学模型
目标函数:min(或max)z=c1x1+c2x2+…..+cnxn 约束条件: a11x1+a12x2+…+a1nxn≤(=, ≥)b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn≤(=, ≥)b2 ………………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤(=, ≥)bm
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x1 x2 x3 1 14 7 x1 x2 x4 1 7 12 x1 x2 x5 8 x1 , x2 .....x5 0
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线性规划数学模型的一般形式:
满足 minf(x)=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+…+a1nxn =b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 ………………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn=bm xj≥0 j=1,2,…,n m,n正整数。m为独立的约束方程个数,n为变量个数 n>m bi≥0 (i=1,2,…,m)
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该配料问题的最优化数学模型为: 目标函数: 飞机汽油1的总产量越多越好 maxz= x1+x2+x3+x4 约束函数(限制条件): X5+x6+x7+x8≥250000 X1+x5≤380000 X2+x6≤265200 2.85x1-1.42x2+4.27x3-18.49x4≥0 2.85x5-1.42x6+4.27x7-18.49x8≥0 16.5x1+2.0x2-4.0x3+17.0x4≥0 7.5x5-7.0x6-13.0x7+8.0x8≥0 xj≥0 j=1,2,…,8
x1+x2=10
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求x=(x1
§1.3线性规划问题的标准型 x2 )T
使f(x)=-5x1-10x2
并满足:
min 设计变量: x1 , x2
松弛变量: x3 , x4 , x5 松弛变量:把不等式约束变成等式约束 所增加的变量称为松弛变量。 剩余变量:若不等式约束为“≥”形式, 则在改写等式约束时,所增加变量前面 的符号应为负,这时所增加的变量称为 剩余变量。 自由变量:若约束条件中有某个变量无 ' ' ' ' 非负限制,令 xk xk xk' 其中xk , xk' 0
2x1+3x2100
4x1+2x2 120 x1、x20 求出x1、x2的值
(原材料限制)
(工时限制) (变量非限制)
要求:总产值最大,maxf(x1、x2)= 6x1+4x2 maxf(x1、x2)
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两个变量的线性规划
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例2 分配任务的最优化问题
现有四种不同规格的产品要分配在四台不同性能的机床上 同时加工,由于产品的规格不同和机床的性能各异,因此每 一件产品在不同机床上加工的工时定额是不同的,其工时定 额如表,问应如何分配加工任务,使总的加工时间最少?
X2+x6≤265200 (标准汽油2号的库存量限制)
X3+x7≤408100 (标准汽油3号的库存量限制) X4+x8≤130000 (标准汽油4号的库存量限制) xj≥0 j=1,2,…,8
8
(非负限制)
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2、蒸汽压和辛烷值的限制条件 分压定律:设有一混合气体,由n种气体组成。令混合气体的压力 为p,所站总容积为v;各组分的压力分别为p1,p2….pn,各组分所 n 占容积分别为V1,V2,…..Vn,则“ pV piVi ”, 利用分压定律建立蒸汽压力的限制条件: 根据表1-2,飞机汽油1的蒸汽压力应为:
B:常数项列阵
X≥0:表示向量X中的每一个分量都大于零
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§1.4线性规划问题的解 1.可行解:满足非负约束条件的约束方程的任何一个解 都是可行解。在可行区中的任何一个解都是可行解。
i 1
7.11102 x1 11.38102 x2 5.69102 x3 28.45102 x4 x1 x2 x3 x4
根据表1-3,蒸汽压力不大于9.96*10-2
7.11x1 11.38x2 5.69x3 28.45x4 9.96 x1 x2 x3 x4
工时 机床 产品
1 7 20 21 48
2 50 13 16 27
4
3 16 40 25 43
4 1 35 42 16
1 2 3 4
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解:今要求四种产品同时在四台不同的机床上进行加工,因此 每种产品只能而且必须分配在一台机床上,同时每台机床只 能而且必须加工一种产品,所以这个问题属于任务分配问题 (表示产品j不分配在机床i上加工) 设 xij= 0 1 (表示产品j分配在机床i上加工) 则限制条件为 4 xij 1, i 1,2,3,4 (第i台机床只加工一种产品)
x1, x2…xn的全部或部分非负
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§1.2线性规划的图解法
一、引例 例:若有某水泥制品厂生产A、B两种混合料。按照工厂的生 产能力,每小时可生产A料14t或B料7t。从运输距离来讲, 每小时能运A料7t或B料12t。按工厂的运输能力,不论何种 混合料,每小时只能运出物料8t。已知生产A料所创造的经济 价值为5元/t,B料为10元/t。试问该厂每小时能创造的最 大经济价值为多少?这时每小时生产的A、B料各为多少? 解:设x1、x2分别为每小时生产的A、B料数量, 故设计变量为X=(x1、x2)T 目标函数:f(x)= 5x1+10x2 约束条件: ??
x2 60
约束条件:
2x1+x2≤60
30
2x1+x2=60
3x1+5x2=150
3x1+5x2≤150
x1,x2≥0
18
0
30
50
x1
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解的几种特殊情况 2.可行集无界 x
2
目标函数: maxz=f(x1,x2)=2x1-x2
1
x1-3x2= -3
约束条件:
x1+x2≥1
X3+x7≤408100
X4+x8≤130000
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1)每一问题都用一组未知数(x1,x2,…,x3)表示某一方案,这组 未知数的一组定值就代表一个具体方案。一些实际问题还要求 这些未知数的全部或部分取值是非负的。
2)这些未知数需满足一定的限制条件,这些限制条件都可以 用一组线性等式或不等式来表示。 3)都有一个目标要求,并且这个目标可表示为这组未知数的 线性函数(目标函数)。 按研究的问题不同,要求目标函数实现最大或最小 线性规划问题
0 1
Z=2x1-x2
x1
x1-3x2≤-3
x1,x2≥0
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x1+x2=1
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解的几种特殊情况 3.可行集为空集 目标函数: maxz=f(x1,x2)=x1+3x2
x2 30
约束条件:
x1+x2≤10
2x1+x2=30
2x1+x2≥30
x1,x2≥0
20
10
0 10 15 x1
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整理后得: 2.85x1-1.42x2+4.27x3-18.49x4≥0 (1号飞机汽油蒸汽压指标限制) 要求飞机汽油2的蒸汽压力与飞机汽油1的相同,则: 2.85x5-1.42x6+4.27x7-18.49x8≥0 (2号飞机汽油蒸汽压指标限制)
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关于辛烷值的考虑也可采用类似分压定律
对于1号飞机汽油,有
107.5 x1 93.0 x2 87.0 x3 108.0 x4 91.0 x1 x2 x3 x4
整理后得:
16.5x1+2.0x2-4.0x3+17.0x4≥0 (1号飞机汽油辛烷值指标限制) 对于2号飞机汽油,有 7.5x5-7.0x6-13.0x7+8.0x8≥0 (2号飞机汽油辛烷值指标限制)
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解:设x1、x2分别为每小时生产的A、B料数量 故设计变量为X=(x1、x2)T 目标函数:f(x)= 5x1+10x2
约束条件:
x1 x2 1 14 7 x1 x2 1 7 12 x1 x2 8 x1 , x2 0
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图解法(生产规划问题的几何描述)
x1 x2 1 7 12
12
10

f(x)等值线
D
E

f(x)=70

G
可行区

C
x1 x2 1 14 7
A
0 2 4 6
x1 x2 8
B

17
10
12
x1 14
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解的几种特殊情况 1.无穷多个最优解 目标函数: maxz=f(x1,x2)=6x1+10x2
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