第二类边界条件
规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值
u n x0 ,y0 ,z0 f (x0 , y0 , z0 , t)
（9.1.24）
第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值
(u Hun ) x0 ,y0 ,z0 f (x0, y0, z0, t) （9.1.25）
utt Tuxx g 0
(9.1.6)
即为
utt a2uxx g
（9.1.7）
上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．
其中 a2 T /
讨论：
（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(9.1.7)右端的 重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：
utt a2uxx
（9.1.16）
2i x 2
LC
2i t 2
(9.1.17)
具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同
(3)无漏导，无电感线
2v x2
RC v t
2i
i
x 2
RC t
（9.1.18） (9.1.19)
它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式， 尽管它们的物理本质根本不同．
讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要 确定弦的运动方程，需要明确：
(1)要研究的物理量是什么？
弦沿垂直方向的位移 u(x,t)
确定 弦的 运动 方程
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律.
（3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
注意：
物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设 才能使方程简化．
例9．1．1 一根长为 l 的弦，两端固定于 x 0 和
x l ,在距离坐标原点为 b 的位置将弦沿着横向拉开距离
h ，如图9.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。
【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间，
u
按题意初始速度为零，即有
h
o
b
图 9.5
x l
ut (x, t) |t0 ut (x, 0) 0
其中 f 是时间 t 的已知函数，H 为常系数．
9.2 数学建模－热传导方程类型的建立
9.2.1数学物理方程――热传导类型方程的建立
1.热传导方程 推导固体的热传导方程时， 需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律：
热传导的傅里叶定律：
dt 时间内，通过面积元 dS 流入小体积元的热量
dQ 与沿面积元外法线方向的温度变化率 u 成正比
作用于小段 ¼ ABC 的纵向合力应该为零：
T2 cos2 T1 cos1 0
(9.1.2)
仅考虑微小的横振动，夹角 1,2 为很小的量，忽略
12
,
2 2
及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有
cos1
1
12
2!
L
1,
cos2 1
sin 1
1
13
3!
L
1 tan1,
sin2 2 tan2
初始位移如图所示
u(x, 0)
l
hx b h (l b
x)
(0
x l) (b x
L)
2.边界条件
常见的线性边界条件分为三类：
第一类边界条件 直接规定了所研究的物理量在边界上的数值
u(x, y, z, t) |x0 ,y0 ,z0 f (x0 , y0 , z0 , t)
（9.1.23）
2i
i
x2
LC
t 2
(RC GL) t
GRi
(9.1.14)
式（9.1.13）及（9.1.14）即为一般的传输线方程（或电报方程）．
(1)无失真线
2i x2
1 a2
2i t 2
2
a
i t
2i
(9.1.15)
其中
a2 1 , 2 RG
LC
(2)无损耗线
2v x 2
LC
2v t 2
ds (dx)2 (du)2 1 (ux )2dx dx
注意到:
ux
u x
tan
sin
故由图9.11得
ux x tan1 sin1, ux xdx tan2 sin2
这样，(9.1.1)和(9.1.2)简化为
T2
ux
xdx
T1 ux
x
gdx
utt dx
T2 T1 0
根据牛顿冷却定律: 单位时间从周围介质传到边界上单位面积 的热量与表面和外界的温度差成正比, 即
dQ H (u1 u | )
这里 u1 是外界媒质的温度. H 0 为常数
与推导条件(9.2.11)相似,此时可得边界条件
[ u n
hu]
hu1
其中 h H k
(9.2.9)
9.3 数学建模——稳定场方程类型的建立
数学物理方程所研究的内容和所涉及的领 域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的 许多物理现象和普遍规律.
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系
泊松（S. D. Poisson 1781～1840，法国数学家） 方程表示的是电势（或电场） 和电荷分布之间的关系
振动与波（振动波，电磁波）传 播满足波动方程
热传导问题和扩散问题满足热传导方 程
静电场和引力势满足拉普拉斯方 程或泊松方程
三类典型的数学物理方程
三类典型的数学物理方程
双曲型方程 波动方程为代表
抛物型方程 热传导方程为代表
椭圆型方程 泊松方程为代表
退化为拉普拉斯方程
三类数学物理方程的一种最常用解法 分离变量法
第二篇 数学物理方程
本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立 和求解 重点：数学物理方程求解方法中的分离变量 法和行波法. 特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍， 以便充分了解模型的物理意义，有利于根据 数学物理模型建立数学物理方程．
数学物理思想
数学物理方程（简称数理方程）是指从物理 学及其它各门自然科学、技术科学中所导 出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方 程．
则根据能量守恒定律得热平衡方程
[
x
(k
u x
)
y
(k
u y
) z (9.2.2)
(k
u z
)]dtdxdydz
C0
u t
dtdxdydz
或写成
[ x
(k
u x
)
y
(k
u y
)
z
(k
u z
)]
C0
u t
2. 扩散方程
u t
a2
2u x2
0
(t 0)
其中 a2 D.
将一维推广到三维，即得到
u(x, y, z,t) | f (,t)
(9.2.7)
直接给出函数u 在边界上的数值,所以是第一类边界条件.
2. 第二类
已知任意时刻 t(t 0) 从外部通过边界流入物体内的热量。
设单位时间内通过边界上单位面积流入的热量为 (,t)
考虑物体内以边界上面积元 dS 为底的一个小圆柱体，
.
如图9.10所示. 物体内部通过 dS 流入小柱体的热量为
（9.2.5）
从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象， 但可以用同一类方程来描述.
9.2.2 热传导（或扩散）方程的定解条件
1 初始条件 热传导方程的初始条件一般为
u(x, y, z, 0) (x, y, z) （9.2.6）
2 边界条件
第一类: 已知任意时刻 t(t 0) 边界面 上的温度分布
偏微分方程 标准的常微分方程
标准解，即为各类特 殊函数
第九章 数学建模---数学物理定解问题
9.1 数学建模----波动方程类型的建立
弦的横振动 杆的纵振动
具有波动方 程的数理方
程的建立
讨
论
定解条
件
传输线方程
9.1.1波动方程的建立
1. 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦．
9.3.1 数学建模——稳定场方程类型的建立
1 静电场的电势方程
直角坐标系中泊松方程为
2U x2
2U y2
2U z2
0
(9.3.1)
若空间 V 中无电荷，即电荷密度 0 ，上式成为
2U x2
2U y 2
2U z 2
0
(9.3.2)
称这个方程为拉普拉斯方程.
2. 稳定温度分布
导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 （9.2.1)，(9.2.2) 即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
小柱体内温度升高 u 所需要的热量
n
dS
dS' ( cdS u) 随着柱高 趋于零而趋近于零
图图99..13 0 11.2.2
所以当 0
由热平衡方程给出:
k u dSdt (, t)dSdt 0
n
考虑到 0 时, dS dS 则得
u n
|S
1 k
(,
t)
(9.2.8)
3. 第三类
(9.1.3) (9.1.4)
因此在微小横振动条件下，可得出
T2 T1 ，弦中张力不随 x 而变， 可记为
T T2 T1 故有
T (ux
xdx
ux
) gdx
x
uttdx
(9.1.5)