面面平行的性质：由面面平行 得线面垂直。
a
a ，a
面面垂直的判定定理：一个平
面经过另外一个平面的垂线， 则这两个平面互相垂直。
a
β
α
a // , a ⊥
补充：如果一个平面与另一个
平面的垂线平行，那么这两个 平面互相垂直。
基本性质
平面的基本性质
图示
公理 1：如果一条直线上的两个点在一个平面 内,那么这条直线上所有点都在这个平面内.
补充：三个两两垂直的平面的
交线垂直
线面垂直的判定定理：一条直
线与平面内两条相交直线都 相交,那么这条直线与这个平 面垂直。
面面垂直的性质定理：两个平
面垂直,在第一个平面内垂直 于交线的直线垂直于另一个 平面。
a ⊥ ， a // b b⊥
线面垂直的性质：由线线平行 得线面垂直。
a ⊥ ， // a ⊥
a
O
b
b
b'
a
a'
a
O a'
B
O
A
由一点出发的 两条射线组成 的图形
异面直线所成的 角 ： 作 a`/ / a ，
b`/ / b ， a`,b` 所成
的角（锐角或直 角）为异面直线所 成的角
直线与平面所成 的角：a’是 a 在 平 面 上 的 射 影 ,a 与 a’所成锐角为 直线与平面所成 的角。
线面平行的性质定理：如果一条 直线和一个平面平行，经过这条 直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行。
线面垂直的性质定理：如何两条 直线都垂直于同一个平面，那么 这两条直线平行。
// , a, b a // b
面面平行的性质定理：一个平面
同时与两个平行平面相交，那么 这两条交线平行。
图示
a b
c
a
b
线//线 （4 个）
a
b
线//面 （2 个）
a
b
a
b
a
ห้องสมุดไป่ตู้
a
b
面//面 （3 个）
a
平行关系的判定
符号
a // b , a // c b // c
a //, a , b a // b
a ⊥ ，b⊥ a // b
文字
公理 4：平行于同一条直线的两 条直线互相平行
a ⊥ ，b a b
线面垂直的性质定理：一条直
线若垂直于一平面,则直线垂 直于这个平面内任意一条直 线。
a ⊥ c ， a // b b ⊥ c
两条平行直线，一条垂直第三 条直线，则另一条也垂直于第 三条直线。
a ,b ,a b o， c a，c b c
, b,a b a⊥
图示
P
a
O
A
P
a
O
A
a b
a
b
c
c
Oa
b
a
b
a
b
a
垂直关系的判定
符号
文字
PA⊥ ， a ， a ⊥ PO AO⊥ a
三垂线定理：平面内一直线若
与斜线的射影垂直则它与斜 线垂直。
PA⊥ ， a ， AO ⊥ a a ⊥ PO
三垂线定理的逆定理：平面内
一直线若与斜线垂直则与斜 线的射影垂直。
平行直线和平面 的距离
平行平面间距离
二面角的平面角：O 在棱 上，OA 在α内，OA⊥棱， OB 在β内，OB⊥棱，∠ AOB 是二面角的平面角。
0 180 0 90
0 90
0 180
空间距离
距离图示 定义
b
a
a
d
a' b
a d
a'
d
两平行直线间 的距离
异面直线间的距 离：两条异面直线 的公垂线段的长 度。
面面平行的判定定理：一个平面
内两条相交直线分别与另一个 平面平行,那么这两个平面平 行.
a ⊥,a ⊥ //
课本 P35 例 1：垂直于同一直线 的两个平面平行。
// , // //
补充：平行于同一平面的两个平
面平行。
平行关系的判定
线⊥线 （5 个）
线⊥面 （4 个）
面⊥面 （2 个）
a // b ， b ， a a //
// ， a a //
a ,b ,ab o, a // , b // //
线面平行的判定定理：若平面外
的一条直线与平面内的一条直 线平行，那么这条直线与这个平 面平行。
面面平行的性质：两个平面平行,
在一个平面内的任意一条直线平行 于另外一个平面。
公理 2：如果两个平面有一个公共点,那么它们 有且仅有一条通过这个点的公共直线.
公理 3：经过不在同一直线上的三点有且仅有 一个平面.
作用 判断线在面内的依据
判断两个平面相交的 依据；证明点在线上的 依据;确定交线位置
确定一个平面的依据
平面图形
空间角
异面直线
空间图形 直线和平面
两个平面
夹角图示 定义 范围