第六章 共形映射
一、选择题：
1．若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是 ( )
（A ）21<
z （B ）211<+z （C ）21>z （D ）2
11>+z 2．映射i
z i
z w +-=
3在i z 20=处的旋转角为( ) （A ）0 （B ）
2
π
（C ）π （D ）2
π
-
3．映射2
iz e
w =在点i z =0处的伸缩率为( )
（A ）1 （B ）2 (C)1-e （D ）e
4．在映射i
e
iz w 4
π
+=下，区域0)Im(<z 的像为( )
(A)22)Re(>
w （B ）22)Re(->w （C ）22)Im(>
z （D ）2
2
)Im(->w 5．下列命题中，正确的是( )
（A ）n
z w =在复平面上处处保角（此处n 为自然数）
（B ）映射z z w 43
+=在0=z 处的伸缩率为零
（C ） 若)(1z f w =与)(2z f w =是同时把单位圆1<z 映射到上半平面0)Im(>w 的分式线性变换，那么)()(21z f z f =
（D ）函数z w =构成的映射属于第二类保角映射 6．i +1关于圆周4)1()2(2
2
=-+-y x 的对称点是( )
（A ）i +6 （B ）i +4 （C ）i +-2 （D ）i
7．函数i
z i
z w +-=33将角形域3arg 0π<<z 映射为 ( )
(A)1<w （B ）1>w （C ） 0)Im(>w （D ）0)Im(<w 8．将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=w 的分式线性变换为（ ）
（A ） 11-+=
z z w （B ）z
z w -+=11
（C ）z z e w i
-+=11
2
π
(D) 1
12-+=z z e w i π
9．分式线性变换z
z w --=
21
2把圆周1=z 映射为( ) （A ） 1=w (B) 2=w （B ） 11=-w (D) 21=-w
10．分式线性变换z
z w -+=
11
将区域:1<z 且0)Im(>z 映射为( ) （A ）ππ
<<-
w arg 2
（B ） 0arg 2
<<-
w π
（C ）
ππ
<<w arg 2
（D ）2
arg 0π
<
<w
11．设,,,,d c b a 为实数且0<-bc ad ，那么分式线性变换d
cz b
az w ++=
把上半平面映射为w 平面的( )
（A ）单位圆内部 （B ）单位圆外部 （C ）上半平面 （D ）下半平面
12．把上半平面0)Im(>z 映射成圆域2<w 且满足1)(,0)(='=i w i w 的分式线性变换
)(z w 为( )
（A ）z i z i i
+-2 （B ）i z i z i +-2 （C ）z i z i +-2 （D ）i
z i
z +-2 13．把单位圆1<z 映射成单位圆1<w 且满足0)0(,0)2
(>'=w i
w 的分式线性变换)(z w 为( )
(A)
iz i z --22 （B ）iz z i --22 （C ）iz i z +-22 （D ）iz
z
i +-22 14．把带形域2
)Im(0π
<
<z 映射成上半平面0)Im(>w 的一个映射可写为( )
（A ）z e w 2= （B ）z e w 2= （C ）z ie w = （D ）iz
e w =
15．函数i
e i
e w z z +---=11将带形域π<<)Im(0z 映射为( )
（A ）0)Re(>w （B ）0)Re(>w （C ）1<w （D ）1>w 二、填空题
1．若函数)(z f 在点0z 解析且0)(0≠'z f ，那么映射)(z f w =在0z 处具有 ． 2．将点2,,2-=i z 分别映射为点1,,1i w -=的分式线性变换为 ．
3．把单位圆1<z 映射为圆域11<-w 且满足0)0(,1)0(>'=w w 的分式线性变换=)(z w 4．将单位圆1<z 映射为圆域R w <的分式线性变换的一般形式为 ．
5．把上半平面0)Im(>z 映射成单位圆1)(<z w 且满足3
1
)21(,0)1(=+=+i w i w 的分式线性变换的)(z w = ．
6．把角形域4
arg 0π
<
<z 映射成圆域4<w 的一个映射可写为 ．
7．映射z e w =将带形域4
3)Im(0π
<
<z 映射为 ． 8．映射3z w =将扇形域：3
arg 0π
<
<z 且2<z 映射为 ．
9．映射z w ln =将上半z 平面映射为 ． 10．映射)1
(21z
z w +=
将上半单位圆：2<z 且0)Im(>z 映射为 ． 三、设2
22
2211111)(,)(d z c b z a z w d z c b z a z w ++=++=
是两个分式线性变换，如果记
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-δγβα
1
1111
d c b a ,⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a d c b a d c b a 22221111 试证1．)(1z w 的逆变换为δ
γβ
α++=
-z z z w )(1
1；
2．)(1z w 与)(2z w 的复合变换为d
cz b
az z w w ++=
)]([21．
四、设1z 与2z 是关于圆周R a z =-Γ:的一对对称点，试证明圆周Γ可以写成如下形式
λ=--21z z z z 其中R
a z a z R
-=
-=12λ． 五、求分式线性变换)(z w ，使1=z 映射为1=w ，且使i z +=1,1映射为∞=,1w ． 六、求把扩充复平面上具有割痕：0)Im(=z 且0)Re(≤<∞-z 的带形域ππ<<-)Im(z 映射成带形域ππ<<-)Im(w 的一个映射．
七、设0>>a b ，试求区域a a z D >-:且b b z <-到上半平面0)Im(>w 的一个映射
)(z w ．
八、求把具有割痕：0)Im(=w 且
1)Re (2
1
<≤z 的单位圆1<z 映射成上半平面的一个映射． 九、求一分式线性变换，它把偏心圆域⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<->2511:z z z 且映射为同心圆环域R w <<1，并求R 的值．
十、利用儒可夫斯基函数，求把椭圆14
522
22=+y x 的外部映射成单位圆外部1>w 的一个映射．
答案
第六章 共形映射
一、1．（B ） 2．（D ） 3．（B ） 4．（A ） ５．（D ）
６．（C ） ７．（A ） ８．（C ） ９．（A ） 10．（D ） 11．（D ） 12．（B ） 13．（C ） 14．（B ） 15．（C ） 二、1．保角性与伸缩率的不变性 2． 2
36--=
iz i
z w 3．z +1
4．az a z w i --=θ
1Re （θ为实数，1<a ） 5．i
z i
z +---11 6．λ
-λ-=ϕ
444z z e
w i （ϕ为实数，0)Im(>λ） 7．角形域43arg 0π
<
<w 8．扇形域π<<w arg 0且8<w 9．带形域π<<)Im(0w 10．下半平面0)Im(<w 五、)
1(1
)1(i z z i w ++-+-=
. 六、)1l n (-=z e w .
七、⎭⎬⎫⎩⎨⎧--π=z a z a b i b w 2exp . 八、2
21212121⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-----+=z z z z w . 九、θ
++=
i e z z w 4
14（θ为实数），2=R . 十、)9(9
1
2-+=
z z w .。