分母
n个9，其中n等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的 左侧
；
；
2、单位分数的拆分：
例： =
=
=
；
=
=
分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：
=
本题10的约数有:1,10,2,5.。 例如：选1和2，有：
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【解析】 先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式
和连加式
．
则：
如果选10、5、2，那么有：
．
另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分 数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了．比如，要得到
，根据前面的拆分随意选取一组，比如
同，那么最后得到的 和 也是相同的．本题中，从10的约数中任取两个数， 共有
种，但是其中
比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题共可拆分成5组．具体的解如下：
．
（2）10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5：
另外的解让学生去尝试练习． 【巩固】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
【例 14】
．
【解析】 原式
【巩固】 计算：
．
【解析】 本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果．
原式
【巩固】 计算：
．
【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式
其中
可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式 进行计算．
【巩固】 计算：
，
，……，
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原式 【巩固】
原式＝ ＋
＋
＝（
）＋（
【巩固】
＋
＋…＋
）＋（
）＋（
【解析】
，
原式
）＝
，……， ，所以
【巩固】 【解析】 原式
【例 5】
【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项： 原式
. ，
【巩固】 计算： 【解析】 原式
【巩固】 计算： 【解析】 原式
． 第 4 页 共 16 页
原式 【巩固】 【解析】 设 【巩固】 【解析】 设 【巩固】 计算
，
，则有 ，则有
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(
)
【解析】 设
. 原式=
+
=
+
=
【巩固】 (
)(
)(
【解析】 换元的思想即“打包”，令
，
则原式
(
)(
)(
)(
(
)
【巩固】 计算(
)(
)(
【解析】 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设
又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以
，即
．
【巩固】 真分数 化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是
，则 是多少？
【解析】 我们知道形如 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，只是各个数字的
位置不同而已，那么
就应该由若干个完整的
【例 6】
【解析】 原式＝
【巩固】 计算： 【解析】 先找通项公式
原式
＝ 第 5 页 共 16 页
【巩固】
【解析】 先找通项：
，
原式
【例 7】
【解析】 找通项
原式
，
通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有 原式
【例 8】
【解析】
原式=
=
【巩固】
【解析】
原式
【例 9】 计算：
为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）
（2）
裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化 为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项
．
【解析】 观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式． 原式
【巩固】 看规律
，
，
原式
……，试求
【例 15】 计算：
【解析】 令
，
原式
，则：
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【巩固】 【解析】 设 【巩固】 【解析】 设
原式
，则原式化简为：
，
，
【巩固】 【解析】 设
原式
，
，
【巩固】 计算 【解析】 设
，……
本题具体的解有：
例题精讲 模块一、分数裂项
【例 1】
【解析】 原式
【巩固】 【解析】 原式
【例 2】 计算：
．
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等 差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第 个数恰好为 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的 和再进行计算．
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ห้องสมุดไป่ตู้ （1）
；
（2）
【解析】 单位分数的拆分，主要方法是从分母 的约数中任意找出两个数 和 ，有：
，
从分母 的约数中任意找出两个 和 (
)，有：
（1） 本题 的约数有： ，10，2，5．
例如：选1和2，有：
；
从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的 和 ，它们的数值虽然不同，但是如果 和 的比值相
原式
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为
，所以
，再将每一项的
与
分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
【巩固】 计算：
【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：
．这个算式不同于我们
常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情
原式
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差
公式：
，
，
……
【解析】 原式
【例 3】
【解析】 原式
【例 4】
【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入 手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有
判断当 为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得
。
【例 20】
和 化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
，因此只需
【解析】 如果将
和 转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们
发现
，而
，则第100位上的数字和为9.
【巩固】 纯循环小数 【解析】 如果直接把
，所以有
．(“□”，表示未知的那2个数).所以，这8个数从大到小排列
第4个数是 ．
【例 19】 真分数 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么 是多少?
【解析】
，
，
，
，
，
．因
此，真分数 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，
【解析】 通项公式：
，
原式
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【巩固】 计算：
【解析】 本题的通项公式为
，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母 ，可以看出如果把 换成
的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个 ．将项数和为100的两项相加，得
，
所以原式
【例 1】
．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式
【解析】
×
循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l位是5．这样四舍五入后第100位 为9．
【例 18】 有8个数， ， , , ,
是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是 ，那么
按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?
【解析】
,
,
,
显然有
即
，8个数从小到大排列第4个是
一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算
第一讲分数的速算与巧算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
，那么有
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
，
形式的，我们有：
裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化
【解析】 原式
＝
＝．
【巩固】 【解析】 原式
【巩固】 计算：
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【解析】 原式
【例 11】 计算：
【解析】 法一：利用等比数列求和公式。
原式
法二：错位相减法． 设
则
，
，整理可得
．
法三：本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1， 所以可以采用“借来 还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1．由于公比为3， 要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．由题设，