2020年11月稽阳联谊学校高三联考数学试题卷本科试题卷分选择题和非选择题两部分,全卷共4页,选择题部分1至3页,非选择题部分3至4页,满分150分,考试时间120分钟。
考生注意:1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式:如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1-p )n -k (k = 0,1,2,…, n) 棱台的体积公式球的表面积公式)2211(31S S S S h V ++=24R S π=其中S 1, S 2分别表示棱台的上下底面 球的体积公式:334R V π=球 (其中R 表示球的半径)面积,h 表示棱台的高第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|14},{|60}M x x N x x x =-<<=--<,则M N = ( )A. {|14}x x -<<B. {|13}x x -<<C. {|23}x x -<<D. {|24}x x -<<2. 已知复数1iz i=-,其中i 为虚数单位,则||z = ( ) A.12B.C. D. 2 3. 若变量y x ,满足2020240x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩,则26y x +-的最小值是 ( )A. 2-B. 45-C. 4-D. 12-4.已知函数sin ()2cos x xf x x=-的图象可能为 ( )A B C D5. 已知0,0a b >>,则“log 2log 20b a >>”是“|1||1|a b ->-”的 ( ) A .充要条件B C .充分不必要条件D 6. A.7,53 C. 3+537. 如图,已知点00(,)P x y 过点P 作椭圆222:143x y C +=直线AB 交1C 的两渐近线于点OE OF ⋅的值为A. 34C. 438. 四面体ABCD 中,,AB BC ⊥若四面体ABCD A. 23 B. 43 C. 33 D.369.已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列,其前n 项和为n S .若,p m n q <<<且*,,,,p q m n p q m n N +=+∈,则下列判断正确的是 ( )A. 22p p S p a =⋅B. p q m n a a a a >C. 1111p q m n a a a a +<+D. 1111p q m nS S S S +>+ Oxy Ox y Oxy10. 已知e 为自然对数的底数,,a b 为实数,且不等式ln (21)10x e a x b +--++≤对任意的(0,)x ∈+∞恒成立.则当21b a ++取最大值时,a 的值为 ( ) A. 2e B. 21e - C. 3e D. 31e -第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共7小题,共36分,多空题每题6分,单空题每题4分。
11. 已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,且322ππα<<,则tan α= ▲ ,sin2α= ▲ . 12. 若52345012345(2)(21)(21)(21)(21)(21)x a a x a x a x a x a x ,则012345a a a a a a +++++= ▲ ,2a = ▲ .13.已知动直线:2l y kx =-与圆22:(1)6C x y -+=交于,A B 两点.当1k =时,||AB = ▲ .当l 运动时,线段AB 的中点M 的轨迹方程为 ▲ .14. 在ABC △中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知2sin bc A +222)0a b c +-=,则C ∠= ▲ ;若点D 是边AB 上靠近A 的三等分点,且1CD =,则ABC △面积的最大值为 ▲ . 15. 已知正实数,a b 满足121a b+=,则(1)(2)a b ++的最小值为 ▲ . 16. 袋中装有6个大小相同的球,其中3个白球、2个黑球、1个红球.现从中依次取球,每次取1球,且取后不放回,直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束.用X 表示终止取球时已取球的次数,则随机变量X 的数学期望()E X = ▲ .17. 已知平面向量,,,a b c d 满足:||||2,8a b a b a c ==⋅=⋅=.若对满足条件的任意c ,||d c -的最小值恰为||d a -.设d xa yb =+,则2x y +的最大值为_____▲_______. 三、解答题:本大题共5小题,共74分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.18. (本题满分14分)已知函数2()2sin ()1,[,]442f x x x x πππ=+-∈(I)求()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)若不等式|()|2f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,求实数m 的取值范围.19. (本题满分15分)如图,三棱台111ABC A B C -中,,30AB BC ACB ︒⊥∠=,侧面11ACC A 为等腰梯形,11112224AC AA AC C C ====,13A B =. (I)求证:1AC A B ⊥.(Ⅱ)求直线1B C 与平面11ACC A 所成角的正弦值.20. (本题满分15分)已知等差数列{}n a 满足:25a =,3a 是14a +和54a -的等比中项.数列{}n b 满足:1122(21)22n n n a b a b a bn ++++=-+·11122(21)22n n n a b a b a b n ++++=-+. (I)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.(Ⅱ)若n c =1252n c c c n +++<+.21. (本题满分15分)已知椭圆221:12x C y +=左焦点,点E 为2C 的焦点. (I)过点F 的直线与2C 相切于点P ,若||PF =2C 的方程.(Ⅱ)过点E 的直线l 交2C 于,P Q 两点,点M 4OQ OM =-(O 为坐标原点),且点M 1x =-(22y -<<上.记PQM ∆为1S ,EFP ∆的面积为2S ,求12SS 的取值范围.22. (本题满分15分)已知函数22()2()xf x eax x a R =+-∈.(I)若()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数,求实数a 的最小值. (Ⅱ)若2()()(22)g x f x e x =++有两个极值点1212,()x x x x <.求实数a 的取值范围;(ii )求证:2122||1ln ||2e a x x a +<+<.2020年11月稽阳联考数学参考答案及评分标准第19题图第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.B2.B3.A4.A5.C6.A7.B8.A9.D 10.D各题详细参考解答1.解:由于{|14},{|23}M x x N x x =-<<=-<<,从而{|13}M N x x =-<<,选B.2.解:由于(1i)11222i i i z i +===-+-,则2||2z =.选B. 3.解:如图,不等式组2020240x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为如图所示 的阴影部分,从而当4,2x y ==时,26y x +-有最小值2-,选A. 4. 解:由于sin ()2cos x xf x x=-为偶函数,且()f x 在0x =右侧取值正,故选A.5. 解:充分性:log 2log 201110|1||1|b a a b a b a b >>⇒>>⇒->->⇒->-,充分性成立.必要性:取12,2a b ==,则1|1||b 1|12a ->-⇒>成立,而条件不成立,故log 2log 20b a >>是|1||1|a b ->-的充分不必要条件,故选C.6.解:该几何体为一个正四棱柱截去两个全等的三棱锥而成,直观图如图,()12111132222473222S +⋅⋅=⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯=+. 11152=11221323V V V ⋅=-⋅⋅-⋅⋅⋅=柱锥,故选 A.7. 解:椭圆2C 关于点00(,)P x y 的切点弦AB 的方程为003412x x y y +=.联立0034123x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩得点000043,3232E x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭,同理000043(,)3232F x y x y -- ,则()()()()2222220000004836121343232OE OF x y x y x y -⋅=+==---,故选B. D 1C 1B 1A 1D B8. 解:构建直三棱柱ABE CDF -,设,G H 分别为,ABE CDF ∆∆的外心,连接GH ,取其中点O ,则O 为直三棱柱ABE CDF -的外接球的球心,也为四面体ABCD 的外接球的球心,因为异面直线AB 与CD 所成的角为60,所以60ABE ∠=. 设三棱柱底面三角形ABE ∆的外接圆半径为r,则2r ==,2sin 6023AE r ==222222cos6012AE AB BE AB BE AB BE AB BE =+-⋅⋅⇒+-⋅=,所以22122AB BE AB BE AB BE AB BE AB BE =+-⋅≥⋅-⋅=⋅所以111sin 603326A BCD ABE CDF V V AB BE BC AB BE --==⋅⋅⋅⋅⋅=⋅≤故四面体ABCD 的体积的最大值为故选A. 9. 解:由于12212()()22p p p p p p a a S p a a pa ++==+≠,故选项A 错误.由于m p q n -=-,则[()][()]p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅=222[()][()]()()()()()m n m n m n a q n d a q n d a a q n d a a q n d q n d n m --⋅+--⋅=----=---22()0q n d --<,故选项B 错误.由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅,故选项C 错误. 设0x q n m p =-=->,则2()()()0pq mn n x m x mn x n m x -=+--=---<,从而pq mn <,由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++,故2222p q m n +>+.故222211()()22p q m n p q m n m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.221111(1)(1)(2)(1)(1)[][]2224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d --+---⋅=+⋅+=++22221111(2)(1)(1)(2)(1)(1)2424mn m n mn p q mn m n mn m n mna a d d mna a d d+---+---<++≤++m n S S =⋅.由此1111p q m n m n p q p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S S S S S ++++=>>=+,故选项D 正确. 故选D. 注:本题也可用特殊数列代入,利用排除法求解.AB10. 解:由于ln (21)10ln 21(1)(2)x e a x b x ex a x b +--++≤⇔+-≤+-+.此不等式对任意(0,)x ∈+∞恒成立,则需要保证10a +>.令1x e =,则11ln 21(1)2a b e e+-≤+-- 从而1(1)2a b e +≥+,从而211b a e+≤+. 另一方面,当31,1a e b =-=时,ln (21)10x e a x b +--++≤即为ln 20x ex -+≤,设()ln 2(0)f x x ex x =-+>,则11'()0ex f x e x x -=-=≥得10x e <≤,故()f x 在1(0,]e上单调递增,在1(,)e +∞上单调递减,从而1()()0f x f e≤=,即31,1a e b =-=可使不等式恒成立,从而21b a ++可取1e .综合上述,当21b a ++取最大值1e 时,31a e =-.故选D.第Ⅱ卷(非选择题部分 共110分)二、填空题:本大题共7小题,共36分,多空题每题6分,单空题每题4分。