到下一时刻，提出类似的优化问题，求解Δu(k +1)
Δu (k ) = cT ΔU M (k ) = c1T (4A4T Q4A2+ 4R )4−1 A4T3Q [wP (k ) − y% P0 (k )] (3) dT
其中，M 维行向量 cT = [1 0 L 0] 表示取首元素的运算 P 维行向量 dT = cT (ATQA + R)−1 ATQ [d1,L, dP ] 为控制向量
27
无约束优化问题求解 (1)
思路：代入预测方程，对控制向量求导
P
M
∑ ∑ min J (k) = qi [w(k + i) − y%M (k + i | k)]2 + rjΔu2 (k + j −1)
i =1
j =1
∑ s.t. y%M (k + i | k) = y%0 (k + i | k) +
• 向量 a = [a1,L, aN ]T称为模型向量，N为建模时域
19
输出预测 (1) - 零输入响应
• 在 k 时刻，假设控制作用保持不变时，对未来N 个时刻的输出有初始预测值 y%0 (k + i | k) i = 1, 2,L, N
注意：
k k
y%0 (k + N | k) = y%0 (k + N +1| k) = L = y%0 (∞ | k)
Lecture 2 动态矩阵控制算法 (DMC)
回顾- 预测控制基本原理
• 三个基本原理 ¾ 预测模型 ¾ 滚动优化 ¾ 反馈校正
2
回顾- 预测控制基本原理
• 预测模型
输入
预测模型
输出
- 模型表达：输入（包括操作变量和可测扰动）输出之间 的定量关系
- 模型结构：无限制、阶跃/脉冲响应、传递函数、状态方 程等
- 模型功能：根据当前已知信息和假设未来输入预测系统 未来输出
- 模型作用：作为不同控制策略下比较控制效果的基础
3
预备知识
信号 ¾ 连续信号 x(t) ¾ 离散信号 x(k)
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0.35
k+N
20
输出预测 (2) – 零状态响应
k时刻：控制有一增量△v(k)，计算未来时刻的输出值
y%i (k + i | k) = y%0 (k + i | k) + ai Δu (k )
i = 1,L, N
线性叠加原理
21
输出预测 (3) – 输出预测值
在 M 个连续的控制增量作用 Δu(k),L, Δu(k + M −1) 下， 未来各时刻的输出值为：
u = {0 L 0 u(k) 0 L} y = {L 0 h0u(k) h1u(k) h2u(k) L}
u = {u(0) u(1) L u(k) L L} y := {y(k )} = ?
9
预备知识
u={u(0) 0 0 L} y ={h0u(0) h1u(0) h2u(0) L}
u={0 u(1) 0 L} y ={0 h0u(1) h1u(1) h2u(1) L}
u(k)
y(k)
u = δ (k) := {1 0 0 L} y = {h(k)} = {h0 h1 h2 L}
u = {u(0) 0 0 L} y = {h0u(0) h1u(0) h2u(0) L}
u = {0 1 0 L}
y = {0 h0 h1 h2 L}
u = {0 u(1) 0 L} y = {0 h0u(1) h1u(1) h2u(1) L}
min( M i =1
,i
)
ai
−
j
+1
×
Δu
(k
+
j
−1)
∑ ∑ ∑ P
J (k) = qi ⎡⎣w(k + i) − ( y%0 (k + i | k) +
min( M ,i) i =1
ai−
j +1
×
Δu(k
+
j −1))⎤⎦2 +
M
rjΔu2 (k +
j −1)
i =1
j =1
dJ (k) dΔu j (k) = 0
(1)
s.t. y% PM ( k ) = y% P0 ( k ) + AΔ u M ( k )
(2)
将式(2)代入式(1)可得：
min J (k) =
wP (k )
−
y% P0
(k)
−
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AΔU M
(k)
2 Q
+
ΔU M
2 R
由极值必要条件 dJ (k) dΔUM (k) = 0 可得：
ΔU M (k ) = ( AT QA + R)−1 AT Q ⎡⎣wP (k ) − y%P0 (k )⎤⎦ 获得 Δu(k ),L , Δu(k + M − 1) 的最优值。
∑ ∑ = hiΔu(0) + hiΔu(1) +L + h0Δu(k)
i=0
i=0
k
k
∑ ∑ = ak−iΔu(i) = aiΔu(k − i)
i=0
i=0
14
主要内容
• DMC算法
– 预测模型 – 滚动优化 – 反馈校正
• 单变量DMC算法设计 • DMC参数设计
15
动态矩阵控制
• 预测模型
min( i =1
M
,i
)
ai
−
j
+1
×
Δu
(k
+
j −1)
求优化变量：ΔUM (k) = [Δu(k),L, Δu(k + M −1)]T
26
优化问题 (2)
约束优化问题：
P
M
∑ ∑ min J (k) = qi [w(k + i) − y%M (k + i | k)]2 + rjΔu2 (k + j −1)
30
无约束优化问题求解 (4)
J (k) =
wP (k)
−
y% P0
(k)
−
AΔU M
(k)
2 Q
+
ΔU M
2 R
( ) ( ) J(k) = wP(k) − y%P0 (k) − AΔUM (k) T Q wP(k) − y%P0 (k) − AΔUM (k) + ΔUMT RΔUM
dJ (k) d Δu j (k) = 0
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4
预备知识
系统 ¾ 输入 x(t) 或 x(k) ¾ 输出 y(t) 或 y(k)
System
x(t)
y(t)
5
预备知识
动态系统描述 常微分方程 传递函数 脉冲响应 阶跃响应 频率响应 状态方程 等
u={0 L 0 u(k) 0 L} y={L 0 h0u(k) h1u(k) h2u(k) L}
u={u(0) u(1) L u(k) L L}
y := {y(k)} = ?
y(0) =h0u(0)
y(1) =h0u(1)+h1u(0)
k
y(2) =h0u(2)+h1u(1)+h2u(0)
k
y(k) =∑hiu(k −i)
i =1
j =1
其中 qi , rj 为权系数，分别表示对跟踪误差及控制量变化的抑 制。
25
优化问题 (1)
无约束优化问题：
P
M
∑ ∑ min J (k) = qi [w(k + i) − y%M (k + i | k)]2 + rjΔu2 (k + j −1)
i =1
j =1
∑ s.t. y%M (k + i | k) = y%0 (k + i | k) +
i=0
i=0
k
∑ y(k) =h0u(k)+h1u(k−1)+L+hku(0) = hiu(k−i) i=0
hi = a(i) − a(i −1) = ai − ai−1 系统可由 a(k)唯一确定.
k
k
i
∑ ∑ ∑ y(k) = hk−iu(i) = hk−i Δu( j)
i=0
i=0
j=0
k
k −1
– 输入输出模型 – 假设未来输入预测未来输出
• 滚动时域优化 • 反馈校正
16
DMC - 预测模型
输入
预测模型
输出
如何根据当前已知信息和假设未来输入预测系统未来输出？
阶跃响应 ＋ 比例叠加原理
输出预测
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DMC - 预测模型
阶跃响应 ＋ 比例叠加原理
输出预测
模型预测值：自由项（零输入响应） + 强迫项（零状态响 应）
18
阶跃响应采样
{1,1,1,L}
＝
{0, a1, a2, a3,L}
• 测量对象单位阶跃响应的采样值 ai = a(iT ) i = 1, 2,L， T为采样周期