9
例9.2 柯布-道格拉斯生产函数（P185）
在模型（9-10）中，令Y表示产出，X2表示劳动 投入， X3表示资本投入。这样，式（9-10）就 是一个生产函数----反映产出与劳动力和资本投 入之间的关系的函数，即柯布-道格拉斯函数 （C-D函数）。 C-D 表9-2给出了1955-1974年间墨西哥的产出Y， （GDP度量，以1960年不变价，单位为百万比 索）、劳动投入X2（用总就业人数度量，单位为 千人），资本投入X3（用固定资本度量，以 1960年不变价，单位为百万比索）的数据。
B2 =
式（9-27）也可写为：
Y的绝对变化量 ∆Y = K 9 − 27） （ X的相对变化量 ∆X X
∆X Y = B2 K ( 9 − 28 ) X
式（9-28）表明，Y的绝对变化量等于乘以 的相对变化量。 因而，若∆X X 每变化0.01个单位（或1%），则Y的绝对改变量为 0.01（B2）
36
8.7 多项式回归模型（P197）
表9-7 成本—产出数据
Y（$) 193 （ X 1 226 2 240 244 3 4 257 5 260 6 274 7 297 8 350 9 420 10 总成本 产出
37
例9.7 总成本函数：为了说明多项式模 型，考虑表9-7给出的成本—产出数据
根据这些数据，用OLS方法得到的回归结果如 下：
3
9.1 如何度量弹性：对数线性模型
若（9-6）式满足古典线性回归模型的基 本假定，则用OLS估计方法得到BLUE。 （9-6）式的重要特性：斜率B2度量了Y 对X的弹性。 双对数模型又称为不变弹性模型。 对数线性模型的假设检验与一般线性模型 相同。
4
9.1 如何度量弹性：对数线性模型
弹性的定义： E=
假定联储很关注货币供给的变动对GDP的影响（货 币供给是由FED控制的）。现考虑下面模型： Yt = B1 + B2 ln X 2t + utK(9− 25) 其中，Y=GDP，X=货币供给。 与对数线性模型相比，对数线性模型中的应变量是 对数形式，解释变量是线性形式。在解释线性对数 模型之前，先给出模型（9-25）的回归结果：
如果边际成本的曲线和平均成本的曲线为 U型，根据价格理论可知，模型中的系数 有如下先验值： 1.B1，B2和B4都大于零。 2. B3 <0。 3.B32<3B2B4。 式（9-33）回归结果与这些预期一致。
39
例9.9吸烟与肺癌
表9-9给出了数据 看吸烟对肺癌是递增效应还是递减效应 回归结果表明：吸烟的斜率系数为正，而 吸烟的平方项为负，说明吸烟对肺癌的影 响是递减效应。
30
例9.6 1958-1969年美国的菲利普斯曲线 （P166）
31
例9.6 1958-1969年美国的菲利普斯曲线
模型（9-29）拟合了表9-6给出的数据，回归结 果如下：
ˆ = −0.2594 + 20.5880 1 Yt X t
t=(-0.2572) (4.3996)
K (8 − 30)
2
9.1 如何度量弹性：双对数线性模型
支出函数 双对数（double-log) 模型/对数线性(loglinear)模型 对（9-5）式可变换 为：
Yi = AX iB2 K( 9 −1)
ln Yt = B1 + B 2 ln Xt + ut...(9 − 5)
Yt* = B1 + B2 Xt* + ut ...(9 − 6)
19
例9.4 1970-1999年间美国人口增长率 （ P189）
20
9.4.1 单利增长率与复利增长率
由(9-16)式，b2=B2的估计值=ln(1+r) 因此 antilog(b2)=(1+r)即：1+r=exp（ b2） 于是 r= antilog(b2)- 1 即：r= exp（ b2）-1 (r 是复利增长率)
半对数模型又称为增长模型，通常我 们用这类模型来测度许多变量的增长 率。
17
例9.4 1970-1999年间美国人口增长率 （ P189）
我们现在要求在此期间的美国人口增长率（Y）。 复利计算公式：
Yt = Y0 (1 + r )t ....................K (9 − 13)
其中，Y0----Y的初始值 Yt----第t期的Y值 r-----Y的增长率 （复利率） 将（9-13）式变形，对等式两边取对数，得：
比较这两个模型可以看出，双曲函数模型比线性 模型更好地拟合了样本数据。
34
9.7 多项式回归模型
35
8.7 多项式回归模型
图8-5描绘了总成本函数（是产出的函数）曲线和边际 成本（MC）及平均成本（AC）曲线。 Y表示总成本（TC），X表示产出，总成本函数可以表 示为： Yi = B1 + B2 X i + B3 X i2 + B4 X i3 ...(8 − 32) 形如式（8-32）的函数又称为立方函数（三次多项 式函数）。 可以把它看作多元回归方程，用OLS方法来估计参 数。
第9章 回归方程的函数形式
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 如何度量弹性：对数线性模型 线性模型与对数线性模型的比较 多元对数线性回归模型 如何测度增长率：半对数模型 线性对数模型：解释变量是对数形式
1
第9章 回归方程的函数形式
9.6 9.7 9.8 9.9 双曲线模型 多项式回归模型 不同函数形式小结 小结
21
9.4.2 线性趋势模型
线性趋势模型： Yt=B1+B2t+ut (8-23)
即Y对时间t的回归，其中t按时间先后顺序 计算。时间t称为趋势变量。
22
8.4.2 线性趋势模型
根据表9-4提供的数据，拟合的回归方程如下：
Yˆt = 201 . 9727 + 2 . 3284 t
Se=(743.2718) (152.1243) r2=0.9987 回归结果表明，在样本区间内，美国人口每年 绝对增长为2.3284（百万美元）。因此，在 2.3284 此期间，美国人口有一个向上的趋势。
∆Y Y 的变动 % Y100 = ∆ Y * X = 斜率 * X = X的变动 % ∆ X ∆X Y Y X100
需求函数及其对数变形后的图形见图9-1a 和 图9-2b.
5
9.1 如何度量弹性：对数线性模型
6
例9.1 博彩支出一例
在（7-46）式中，我们给出了博彩支出函 数，博彩支出和个人可支配收入之间是近 似线性关系的，因为并非所有的样本点都 恰好落在直线上。 下面，我们看一下，如果用对数线性模型 拟合表9-1给出的数据，情况又会怎样？ 图9-2描绘了（9-8）所表示的回归直线。 双对数模型的假设检验
ln Yt = ln Y0 + t ln(1 + r ) K..................(9 − 14)
18
例9.4 1970-1999年间美国人口增长率 （ P189）
现令
B1 = ln Y0K....................................( 9−15)
B2 = ln(1 + r ) K.............................(9 − 16)
13
例9.3 对能源的需求（P187）
表9-3给出了1960-1982年间7个OECD 国家的总最终能源需求指数（Y）、实际 GDP（ X2 ）、实际能源价格（ X3）的数 据。所有指数均以1970年为基准 （1970=100）。
14
例9.3 对能源的需求
15
例9.3 对能源的需求
16
9.4 如何测度增长率：半对数模型
23
9.5 线性对数模型：解释变量是对数形式
线性对数模型（lin-log model)： 应变量是线性形式而解释变量是对数 形式。 线性对数模型常用于研究解释变量每变动 1%，相应应变量的绝对变化量的情形。
24
例9.5 美国GNP与货币供给间的关系 （1973-1987年）
25
例9.5 美国GNP与货币供给间的关系 （1973-1987年）（P164）
模型 线性模 型 双对数 模型 对数-线 性模型 线性-对 数模型 形式 Y=B1+B2X lnY=B1+B2lnX 斜率= dY dX B2 B2 y X B2Y 弹性= dY . X
ˆ Yi = 141.7667 + 63.4776 X i − 12.9615 X i2 + 0.9396 X i3 K (9 − 33)
se=(6.3753) R2=0.9983 (4.7786) (0.9857) (0.0591)
38
例9.8 总成本函数：为了说明多项式模型，考 虑表9-8给出的成本-产出数据
r2=0.6594
图9-4a给出了该回归线。
32
例9.6 1958-1969年美国的菲利普斯曲线
33
例9.6 1958-1969年美国的菲利普斯曲线
作为比较，我们给出根据相同数据得到的线性回 归结果：
ˆ Yt = 8.0147 − 0.7883 X t K (9 − 31)
t=(6.4625) (-3.2605) r2=0.5153
7
9.2 线性模型与对数线性模型的比较
选择模型的规律： 1）根据数据作图，判断模型形式（只适 用于双变量情况）。 2）不能仅仅根据r 2 选择模型。 3）线性模型的弹性系数随着需求曲线上 的点的不同而变化，而对数线性模型在需 求曲线上任何一点的弹性系数都相同。
8
9.3 多元对数线性回归模型
三变量对数模型：
27