线性代数论文
一：行列式
学习线性代数最先接触的是行列式，行列式出现于线性方程组的求解，解一组线性方程组最基本的方法是消元，而行列式只是方程求解的一种速记表达式。
由多代数学家研究和完善，给出了n 阶行列式的定义：
∑
-=
n
n n j j j nj j j j j j nn
n n n
n
a a a a a a a a a a a a 21212121)(21
2222111211
)1(τ
因此在这之前必须提出逆序数的概念：在一个n 级排列)(21n s t i i i i i 中，若数,s t i i > 则称数t i 与s i 构成一个逆序。
一个n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记
为).(21n i i i τ一个排列逆序数为偶数则为偶排列，否则为奇排列。
有定义可以看出n 阶行列式表示所有取自不同行、不同列的n 个元素乘积n
nj j j a a a 2121的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号.由此则可推出行列式的几个性质： 1：行列互换行列式的值不变，行列地位是对称的；
2：用一个数乘行列式的某一行等于用这个数乘此行列式。
因此相反的行列式的某一行有公因子可以提出来；
3：如果行列式中某一行是两组数的和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行，而其余各行与原行列式对应相同； 4：对换行列式中两行的位置，行列式反号；
5：如果行列式中有两行成比例饿，则行列式等于0； 6：把一行的某个倍数加到另一行，行列式的值不变；
有上述六条性质可以很好的对一些高阶行列式进行化简，进而求值。
简化行列式计算的另一条途径则是降阶，即把高阶行列式的计算化为低低阶行列式运算。
在这方面则是发现了行列式的展开公式。
首先为方便表达计算有如下定义：
在一个n 级行列式D 中,把元素aij (i,j=1,2,.....n)所在的行与列划去后，剩下的(n-1)^2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij,称为元素aij 的余子式，Mij 带上符号(-1)^(i+j)称为aij 的代数余子式,记作Aij=(-1)^(i+j)Mij
之后则有行列式展开公式：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即 ：
最后则回到最原先的问题，用行列式表示方程的解： 由克拉默法则知：
D 不等于0时，那么方程(1) 有唯一解
其中 D j ( j = 1,2,…,n ) 是把系数行列式中第 j 列的元素用方程右端的自由项代替后所得到的 n 阶行列式，即
证明：
用 D 中第 j 列元素代数余子式A 1j , A 2j , … , A nj 依次乘方程组(1) 的 n 个方程，再把它们相加，得
根据代数余子式的重要性质可知，上式中 x j 的系数等于D ，而其余 x i ( i ≠ j ) 的系数均为零;又等右端即是 D j ，于是 D x j = D j , ( j = 1 , 2 , … , n ). (3)
当D ≠ 0 时，方程组(3)有唯一的一个解 (2) 。
由于方程组(10) 是由方程组(1) 经乘数与相加两种运算而得，故(1) 的解一定是(10) 的解，
今(3) 仅有一个解 (2) ，故(1) 如果有解的话，就只可能是解(2) 。
下面验证解(2) 是方程组(1) 的解。
也就是要证明：
为此考虑两行相同的 n + 1 阶行列式
它的值等于 0 ，
把它按第一行展开，由于第 1 行中 a ij 的代数余子式为
,111111⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫
⎝⎛∑
∑
∑∑
====n
k kj k n n k kn kn j n k kj kj n
k kj k A b x A a x A a x A a )2(,,,,2
211D D x D D x D D x n n
=== ).
,,2,1(,2211n i b D D a D D
a D D a i n in i i ==+++),,,2,1(111111n i a a
b a a b a a b nn n n n
in i i
=.1
,1
,111,11
,111nn
j n j n n n
j j j a a a a a a a a D +-+-=1b n b
得证.
行列式发展于方程组求解，但是行列式的运用却不仅仅在于方程组，行列式在数学分析、
几何学、二次型理论等多方面都有着重要应用。
随着对行列式的计算应用，发展出了矩阵理论。
二：矩阵
矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具，许多实际问题都可以化为矩阵模型来运算。
简单地说矩阵就是指纵横排列的二维数据表格，
方阵A 的行列式称为矩阵的行列式。
之后就有一系列矩阵运算定义：
1矩阵加法： 设A ，B ，C 是三个同型矩阵，则 A+（B+C ）=（A+B ）+C ； A+B=B+A ；
A+0=0+A=A ，其中0是与A 同型的矩阵。
2矩阵的数乘：设A ，B 是个同型矩阵，k,l 是两个常数，则 lA=A,0A=0;
k(lA)=(kl)A;
nn
j n j n n n n
j j j a a a a b a a a a b
1,1,111,11,111111)1(+-+-++-,
)1()1(1
2j j j j D D -=--=-+,
011n in i i D a D a D b ---= 所以有
).,,2,1(,2
211n i b D
D a D D a D D a i n in i i ==+++即
k(A+B)=kA+kB; (k+l)A=kA+lA;
3维数相容的两个矩阵可以相乘，具体要求是第一个矩阵的列数应等于第二个矩阵的行数。
若A 是N*M 矩阵，B 是M *L 矩阵，则C=AB 是N*L 矩阵，其第个元素是。
矩阵乘法一般不满足交换率（即一般ij 1Mijikkjk ==Σ
CA ≠ABBA ）
4 矩阵的转置则是将矩阵的行列互换；
逆矩阵的定义：设A 是n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使得AB=BA=I ， 则称A 可逆的，B 为A 的逆矩阵；
其中逆矩阵有着重要的应用，初等矩阵即是可逆矩阵，可逆矩阵也可拆成多个初等矩阵的乘积，因此在对矩阵进行初等变换、考虑矩阵的相似性、相抵型、相向型、二次型等等都需要用到可逆矩阵的性质。
求可逆矩阵的最基础的方法则是待定系数法，解方程组求解； 显然待定系数比较繁琐，容易出错；还有一种则是用伴随矩阵；
对任意n 阶矩阵A ，称 ＝
为A 的伴随矩阵，其中，
是A 中元素 的代数余子式。
=
=
I
因此
A
可逆的充要条件是
≠ 0，可逆矩阵为
=
；
伴随矩阵性质证明：设A=(aij),记AA*=(bij),则bij=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=,其中i=j≠0,当i ≠j 时bij=0；故AA*=I,同理 A*A=
I
可逆矩阵的证明：
必要性。
若A 可逆，则有B ，使得AB=I ，两边取行列式，可推出
≠0；
充分性。
若≠ 0，则有=
由上述定义性质可推出矩阵的初等变换和分块矩阵的运算，分块矩阵的运算等同于矩阵运算。
当数学研究领域扩展到N 维向量空间、线性空间时，矩阵起着重要作用！一组向量组可以理解为一个矩阵，同时研究向量组的极大线性无关组时也可以转换成矩阵来求；因此先得引入矩阵秩的概念，矩阵的非零子式的最高阶数r 称为矩阵的秩，记为r(A)=r.零矩阵的秩规定为0；通过计算可以得出矩阵秩的一些性质：
1：max{r (A ), r (B )}≤ r (A ¦ B ) ≤ r (A ) + r (B ), 特别当B = b 时, r (A )≤ r (A ¦ b ) ≤ r (A ) + 1. 2 3
之后向量组的极大线性无关组则转化为对应矩阵的列秩，也等于矩阵的秩。
而矩阵是相对熟悉的的东西，并且有一系列性质。
而线性变换也等同于方阵，因此只要解决矩阵的问题，
则线性空间、线性变换也可对应解决！
海涛，不想写了，写不下去了，符号太难打了，你再写写！! sorry ！
()
()()A O r r A r B C B ≥+()()()r A B r A r B ±≤+。