11.1 最优控制问题的一般提法
最优控制研究的主要问题： 根据已建立的被控
对象的数学模型， 选择一个容许控制律， 使得被控 对象按照预定的规律运动，并使某一个性能指标达到 最大或最小。 从数学的观点来看， 最优控制问题是求解一类 带有约束条件的泛函极值问题， 属于变分学范畴。
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经典的变分法只能解决控制无约束的问题，
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到某一时刻 t f 实现软着陆，即
h(tf ) 0 v (tf ) 0
控制过程中，推力 f (t ) 不能超过发动机所能提供的
最大推力 f max ， 即
0 f (t ) f max
最优控制问题可以描述为： 在满足控制约束的条件 使飞船的燃料消耗最小， 下，寻求发动机推力 f (t ) ，
即容许控制属于开集的一类最优控制问题。 然而， 工程中的控制常常是有约束的， 即容许控制是属于 闭集的。 为了解决这个问题， 20世纪50年代，美国 学者贝尔曼和苏联科学院院士庞德里亚金分别独立
地拓展了经典变分法， 分别给出了动态规划方法和
极大值原理。 它们构成了最优控制的理论基础。
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11.1.1 最优控制问题的两个例子
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下所形成的控制律飞行， 直至接收到关于目标下一
次新的测量为止，根据新的测量再形成新的控制律， 这样反复进行，直至击中目标。 当量测采样间隔充 分小时， 关于目标常速、定航向的假设离实际情况
相差并不太远。
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[解 ]
在上述假设下目标的运动方程为
xm vm cos m ym vm sin m v 0 m
n
性能指标 J 可表示为
质量及所带燃料分别为 M 和 F 。
设从 t 0 时刻飞船开始进入软着陆过程， 以竖直向上为参考正方向， 可写出运动方程为
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h v f v g m m kf
其中 k 为常数。 控制飞船从初始状态为
h(0) h0 v (0) v0 m(0) M F
阻力因子， 且
1 K d C0 S 2
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其中
C0
零升力阻力系数，可以看作是常数
大气密度，也可以看作是常数 导弹的参考面积

S
将 F和
Байду номын сангаас

看作是两个独立的控制变量时， 导弹
的运动方程为
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x v cos d d d yd vd sin d 1 2 vd (C K d vd ) m 1 F d v m d m
( xm , ym )
目标的位置坐标， 目标的线速度， 目标运动方向与
m
vm
x 轴的夹角，
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y
vm
( xm , ym )
m
vd
d
( xd , yd )
o
x
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设 m 为导弹的质量，( xd , yd ) 为导弹在坐标平 面内的坐标， vd 表示导弹的速度， vd 与
x 轴的
夹角为 d ， F 表示导弹的侧向控制力。 如果用 表示推进剂秒流量， 可作为一个控制量， 则纵向 推力为 C ， 其中 C 为常数。 设 K d 表示导弹的
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取状态变量为
x x1
T
x2
x3
x4
x5
x6
x
取控制变量为
y vd d
m vm
u u1 u2
T

F
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令
x xm xd y ym yd
x1 x6 cos m x3 cos x4 x x sin x sin x 6 m 3 4 2 1 2 x ( Cu K x 3 1 d 3) x5 x u2 4 x3 x5 x5 u1 x 0 6
T T t0
tf
这里的 R(t ) 和 S 均为对角线矩阵。
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0 r1 (t ) R(t ) r2 (t ) 0
s1 0 0 S 0 0 0 0 s2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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也就是使得 t f 时刻飞船的质量 m为最大， 即
J m(tf )
[例2] 空对空导弹拦截。 假定导弹与目标的运动 发生在同一平面， 即假设导弹能产生足够大的铅垂
方向的升力， 以抵消其自身的重力； 假定导弹推力 方向与其速度方向一致， 目标常速、定航向飞行。
这种假定并非过分限制， 实际上，导弹按此种假设
[例1]
飞船的月球软着陆问题。 如图所示，飞船
靠其发动机产生一个与月球重力方向相反的推力 f ，
使得飞船到月球表面时速度为零， 即实现软着陆。 使得发动机燃料消耗最少。 要求设计推力函数 f (t ) ，
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f
m
h
mg
月球
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[解 ]
设飞船的质量为
m， 其高度和垂直速度分别为
h 和 v ，月球的重力加速度为常数 g ， 飞船的自身
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上述性能指标的第一项表示末端时刻导弹与目标距 离的一种度量， 该距离常称为脱靶量； 第二项表示
控制过程消耗的能量。
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11.1.2 最优控制的一般提法
设被控系统的状态方程及初始条件为
x(t ) f ( x(t ), u(t ), t )
x(t0 ) x0
求取一个容许控制 u(t ) U , t [t0 , tf ] 目标集为 M ，
则可得状态方程
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这个问题可以归纳为：导弹从已知的初始状态
x(t0 ) x0 出发， 通过选择适当的控制律 (t ) 及
F (t )(t0 t tf ) ，使得在末端时刻 t f
为此，取性能指标为
尽可能地接
近目标， 同时， 尽可能地节省控制能量。
J x (tf ) Sx(tf ) u (t ) R(t )u(t )dt
使受控系统由给定初始条件出发， 在末端时刻 tf t0 将系统的状态转移到目标集 M ， 并使性能指标 达到最小。
J
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其中， 目标集 M 可表示为
M x (tf ) x (tf ) R , g x (tf ), tf 0, h x (tf ), tf 0