主矩大小 M O M Ox2 M Oy2 M Oz2
M
2 x
M
2 y
M
2 z
15
2. 空间一般力系简化结果的讨论 1).若FR ' 0, M O 0 则力系简化为合力，与简化中心有关。 2).若 FR ' 0, M O 0 则力系简化为合力偶,与简化中心无关。 3).若 FR ' 0, M O 0 则力系简化为力螺旋(或合力） 4).若 FR ' 0, M O ,0 则该力系平衡
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
三要素：
(1）大小:力F与力臂的乘积
(2) 方向:转动方向 (3) 作用面：力矩作用面.
r r rr MO(F) r F （4–8）
MO( F ) Fd Fr sin
矢量方向：右手螺旋定则。（将右手四指握拳并以它们的弯曲
方向表示力使物体绕该轴转动的转向，而拇指的指向就是力对
主矢方向 cos
Fx
, cos
Fy
, cos
Fz
FR'
FR'
FR'
14
主矩大小
MO
M Ox2
M
2 Oy
M Oz2
主矩方向： cos' MOx , cos ' MOy , cos ' MOz
MOΒιβλιοθήκη MOMO由于力对点之矩与力对轴之矩存在如下的关系:
mox [ mO (Fi )]x mx (Fi ) moy [ mO (F )]y my (F ) moz [ mO (F )]z mz (F )
大小： MO( F ,F' ) MO( F ) MO( F' ) rAB F
与矩心无关。
合成： M Mi
平衡：
Mx 0
My 0
Mz 0
12
§4–3 空间一般力系向一点的简化·主矢和主矩
1． 空间任意力系向一点的简化
其中，各
rr Fi Fi
，各
r rr Mi Mo(Fi )
一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系. 13
点之矩矢量的指向）
3
由于F
Xi Yj
Zk
rr
r xi
r yj
r zk
X和x分别表示力F 和A点的坐标在对 应坐标轴上的投影。
i jk mO (F) r F x y z
XYZ
mO
(F)
( yZ
zY
)i
(zX
xZ
)j
(xY
yX )
k
[mO (F )]x i [mO (F )]y j [mO (F )]z k
16
1） 合力
r
r
当
FR
0, MO
0 最后结果为一个合力.
r
合力作用点过简化中心.
当
rr FR 0, MO
rr 0, FR MO
空间汇交力系的合力
r
r
rr r r r r
FR Fi Fixi Fiy j Fixk
称为力系的主矢
空间力偶系的合力偶矩
r
r
Mo Mi Mo (Fi )
称为空间力偶系的主矩
主矢大小 FR ' FRx'2 FRy'2 FRz'2 ( Fx)2 ( Fy)2 ( Fz)2
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos
8
1.力在直角坐标轴上的投影
二次投影法
Fz
F xy F sin
Fy
Fx F sin cos
Fx
Fy F sin sin
Fz F cos
F Fx Fy Fz
F Fxi Fyj Fzk
F Fx2 Fy2 Fz2
cos X ,cos Y ,cos Z
可见：F对O点之矩在三个坐标轴上的投影分别为：
rr Mo (F )x yFz zFy
rr M o (F ) y zFx xFz
rr Mo (F )z xFy yFz
4
(4-4)
2.力对轴的矩
力使物体绕某轴转动的效应可用此力在垂直于该轴平面上的
分力对此平面与该轴的交点之矩来度量，我们将力在垂直于
F
F
F
9
2. 空间汇交力系的合成：
FR F1 F2 F3 Fn Fi FR Fxi Fy j Fzk
合力: FR
F2 Rx
F2 Ry
F2 Rz
(
FiX)2 (
FiY)2 (
FiZ)2
cos FRx , cos FRy , cos FRz
FR
FR
FR
10
3. 空间汇交力系的平衡： 空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零
与式(4-4)比较,得:
rr
r
Mo (F )x yFz zFy M x (F )
rr
r
M o (F ) y zFx xF M y (F )
rr
r
Mo (F )z xFy yFz M z (F )
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩.
7
空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
理论力学
1
空间力系:各力的作用线不在同一平面内的力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
2
§4-1 力对点之矩和力对轴之矩
平面力系中，各力与矩心均在同一平面内（即各力的力矩平面相同），所 以力对点之矩的代数符号完全能够区分各力使物体绕矩心转动的转向。空 间力系中，各力的作用线分别与空间中同一点所构成的平面互不相同，故 各力使物体绕该点转动的转轴也不同。
某轴的平面上的分力对此平面与该轴的交点之矩，称为力对
Ｚ
轴之矩。
r
r
如力F对Z轴之矩表示为： Mz (F) Mo (Fxy ) Fxy h
Ｆ
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴之矩为零。
方向：右手螺旋法则，与Z轴正方向一致时为正，反之为负。单位：N·m
5
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。
例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
M z ( F ) M O( Fxy ) M O( Fx ) M O( Fy ) xFy yFx
同理有：
M M
x y
F F
yFz zFx
zFy xFz
M z F xFy yFx
（4-6）
6
3.力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
即：FR Fi 0
FR
Fx2 Fy 2 Fz 2
空间汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
Fz 0
11
§4-2 空间力偶系
1.平面力偶系： M mi 代数和
２.空间力偶系： 力偶用矢量表示
３.空间力偶三要素：作用面方位、在作用面的 转向、任一力大小与力偶臂的乘积F.d。 空间力偶三要素可用力偶矩矢来表示。