erf (x) erf (x) erf () 1
●互补误差函数是递减函数，它具有如下性质：
erfc(x) 1 erfc(x)
erfc() 0 erfc(x) 1 ex2，
x
x 1
通信原理
第2章 随机过程
2.5 窄带随机过程→窄带过程
2.5.1 窄带随机过程的概念
若ξ(t)：均值为0、方差为δ 2、窄带、平稳、高斯随机过程。
则：
（1）ξc(t)、ξs(t)同样是平稳高斯随机过程； （2） E[ξ(t)]=E[ξc(t)]=E[ξs(t)]＝0－－均值相同(都为0)； （3）δξc2=δξs2=δξ2=δ2－－方差相同，同于ξ(t) ； （4）在同一时刻（即τ=0）上得到的ξc及ξs互相关函数为0，即ξc
0
互补误差函数： erfc(x) 1 erf (x) 2 ez2 dz x
通信原理
第2章 随机过程
erf (x) 2 x e z2 dz
0
2）误差函数的性质
erfc(x) 1 erf (x)
2 ez2 dz
x
●误差函数是递增函数，它具有如下性质：
＝f1（x1，t1）f2（x2，t2）...，fn（xn，tn）
（2.5.3）
（3）若干个高斯过程之和仍是高斯过程。－－从信号角度。
（4）高斯过程经线性变换后，仍是高斯过程。－－从系统（线
性系统）角度。
通信原理
第2章 随机过程
2.4.2 高斯过程中的一维分布－－随机变量研究
1.一维概率密度函数
（1）高斯随机变量 若随机变量ξ的概率密度函数可表示成
通信原理电子教案
广东海洋大学信息学院 2012年9月
《通信原理》电子教案
授课班级：通信1103班、通信1104班 授课教师：广东海洋大学信息学院 梁能
第2章 随机过程
2.4 高斯过程
2.4.1 基本概念
1.定义 一随机过程ξ(t)，若它的任意n维概率密度呈正态分布，则
称其为高斯过程。又称正态随机过程。 数学表达式见式（2.5.1）。
xa
x
x
F(x) f (z)dz
1 exp[ (z a)2 ]dz 1

et2 / 2dt

2
2 2
2
（3) 用误差函数表示
正态分布函数更常表示成与误差函数相联系的形式。
1）误差函数定义
误差函数：
erf (x) 2 x e z2 dz
通信原理
第2章 随机过程
2. 表达式－－两种！
(t) a (t) cos ct (t) , a 0
c (t) cosct s (t)sinct
(2.6.1/2)
c (t)=a (t) cos (t) (t)的同相分量 s (t)=a (t) sin (t) (t)的正交分量
布：
1
x2
f (x) exp ( )
2
2
通信原理
第2章 随机过程
2.正态分布函数 （1）一般表示式 已知概率密度函数的前提下，正态概率分布函数可以表示为：
x
x
F (x) f (z)dz
1 exp[ (z a)2 ]dz

2
2 2

1
2
x
1）对称于直线x=a;
2）在 (, a) 内单调上升， 在 (a,) 内单调下降，且 在a点处达到极大值;
3）
f (x)dx 1，

f (x)dx
a
f (x)dx 1

a

2
4）a 表示分布中心， 表示集中的程度。 一定时，……。
5）当a＝0 ， 1时，相应的正态分布称为标准化正态分
exp[
(
z a)2
2 2
]dz
，令 z a t，则dt dz
xa

1

et2 / 2dt
2
(2.5.8a)
这个积分不易计算，常引入概率积分函数或误差函数（可查 表）来表述。
通信原理
第2章 随机过程
x
x
F (x) f (z)dz
1 exp[ (z a)2 ]dz
f (x)
1
2
exp[
(
x
2
a
2
)
2
]
(2.5.4)
则称ξ 为服从正态分布的随机变量则称ξ 为服从正态分 布的随机变量
f (x)
1
2
0
a
x
图 2- 3 图 图 图 图 图 图 图 图 图
通信原理
第2章 随机过程
（2）性质
f (x) 1 2
0
a
x
图 2- 3 图 图 图 图 图 图 图 图 图
与ξs互不相关，或说统计独立。
R c s (0)=0 , f (c ,s )=f (c ) f (s )
通信原理

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2 2
（2）用概率积分函数表示
定义概率积分函数(简称概率积分)为：
xa
1

et2 / 2dt
2
(x) 1
x
ez2 / 2dz
2
(2.5.9)
则正态分布函数可表示为：
F (x) （ x a ）
(2.5.8)
通信原理
第2章 随机过程
一维时：
f (x1,t1)
1 exp[ (x1 a1)2 ]
2 1
212
通信原理
第2章 随机过程
2.性质－－由定义可分析出
（1）高斯过程若广义平稳，则必狭义平稳 。
（2）高斯过程中的随机变量ξ(t1)、ξ(t2)、ξ(t3)、…之间若不相 关，则它们也是统计独立的。
fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn）
1.什么叫窄带随机过程？ 频谱: 所占频带较窄，满足Δf << fc的随机过程叫窄带随机过
程。 时域：用示波器观察，看到某个实现的波形－－幅度和相位
随机缓慢变化的近似正弦。
f
-fc
S(ω )
f
s(t)
缓慢变化的包络[a(t)]
0
fc f
(a)
t
频率近似为fc
(b)
图2-4 窄带波形的频谱及示意波形
a (t) c2 (t) s2 (t) (t)的随机包络

(t )

tg
1
s c
(t)的随机相位
通信原理
第2章 随机过程
2.5.2 已知ξ(t)的统计特性，求ξc(t)、ξs(t)的统计特性
结论1
(t) c (t) cosct s (t)sinct