谢谢
s1(t) 输入x(t)
s2(t)
积分 TB 0
积分 TB 0
比较判决 输出y(t)
按照最小均方误 差准则建立起来 的最佳接收机实 质上就是一个相 关接收机
LMS下的最佳接收
接收机除了判决器，还需要匹配滤波。将 s(t )作镜像翻转，并
延时时T，即 s *(t) s(T t)那么上述接收信号和可能信号之间的 相关表达如下。
An Introduction to the Theory of the Detection of Signals in Noise
WILLIAM L. ROOT
引言—检测理论
概率理论和统计理论
消息空间
信号空间
观察空间 判决空间
噪声空间 从接收信号中提取有用信号
自然噪声：大气中辐射噪声（加性，随机）
高斯白噪声中的二元信号检测
• 接收信号建模
y(t) si (t) n(t), 0 t T ,i 1 or 2
si (t) 是原始信号 n(t) 是高斯白噪声信号
观测信号yk y(tk ),tk t1, tN 由于白噪声的特性，我们将在tk点的邻域内 的均值作为tk时刻观测信号yk
LMS下的最佳接收
对一个码元时间T进行N点采样，t1,t2,...,tN 则 yk y(tk ),同样sik si (tk ),nk n(tk )
于是，利用最小均方误差准则判决，M=2,有以下公式 判为s1(t)
s1
s2
Y
M>2时，情况类似
LMS下的最佳接收
最小均方误差判决公式可经过变换，得到相关器
• 假设nk是互不相关的，则 E[(nk Enk )(nj Enj )] Enk nj 0, j k
• Ei yk y j Ei yk Ei y j sik sij , j k
Ei yk2 E[si2k 2sik nk nk2 ] 2 si2k
T y(t )s(t )dt T s *(T t )y(t )dt
0
0
等式右侧的表达式可以理解为通过一个线性时不变滤波器 的响应，
而这就是信号 的匹配滤波器。而匹配滤波器的作用其实就是去检
测未知信号与已知信号的接近（匹配）程度，与已知信号越接近，
接收到的信号越容易通过滤波器
似然比准则
yk

1
tk /2 y(t)dt
tk /2
sik

1
tk /2 tk /2
si
(t
) dt
nk

1
tk /2 n(t)dt
tk /2
(11) (12) (13)
• 噪声的均值和方差 （统计特性）
1
Enk
tk /2 En(t)dt 0

1
2 2
N
( yn
n1
s1n )2
1
2
N n1
yn (s2n

s1n
)

1
2
N
(s2 1n
n1
s2n )2
(17)
• 根据似然检验
decide s2 (t) if
1
2
N n1
yn (s2n

s1n
)

1
2
N
(s2 1n
n1
s2n )2

(18)
• 将N维空间RN的二范数定义为欧式距离: u 2 un2 n1
• 根据式(17)
log l( y)
1
2 2
N
( yn
n1
s2n )2

1
2 2
N
( yn
n1
s1n )2
(17)
• 可以得到
decide s2 (t) if and only if
y s1 2 y s2 2 2 2 (20)
价为c2，发s2(t)判决为s1(t)的代价为c1。则平均代价为
门限的选取
由于接收机最终的判决不是S1就是S2，即S1+S2为全判决空间R， 所以可以改写成如下方程：
c c12 R p2(y )dy c12 S2 p2(y )dy c21 S2 p1(y )dy
c12 S2 [c21p1(y ) c12p2(y )]dy
虽然上述的LMS准则看上去简单，但是实际运用上却不方便， 利用似然比准则，进行数学推导进行判决，更为简化
定义：1、系统发射端发送si时，接收端y(t)的概率密度函数 为pi(y),称作似然函数。 2、l(y)=p2(y)/p1(y),称作似然比
对于给定的门限值α（正数），则有以下判决准则
….(1) 判为s2(t) 为计算简便，两边取对数，即
decide s1(t) otherwise.
• 上式中的第二项为常数，该式可化简
• 简化的判断准则
decide s2 (t) if and only if
yns2n yns1n ' (19)
where
' 2 1 2
s22n

1 2
s12n
进一步简化
N
噪声 电子噪声：加电子性器高件的斯噪噪声 声
人为噪声：无关的其他信号源
四种模型下的信号检测
高斯白噪声中确知信号的检测 高斯白噪声中随参信号的检测 高斯非白噪声中确知信号的检测 噪声中类噪声信号的检测
高斯白噪声中确知信号的检测
• 数学模型
y(t) si (t) n(t), 0 t T ,i 1 or 2
门限的选取
• 最大似然比准则： 当α=1时，公式(1)可变为 p2 ( y) p1( y) 判为s2(t) 即，判决似 然函数大的对应的传输信号。 此时，判决仅与似然函数的大小有关，没有考虑先验概率和错 误代价
• 贝叶斯准则： 考虑先验概率和错误代价，选择合适的α，以得到最小的平均 代价。 s1(t)和s2(t)的先验概率分别为π1，π2，发s1(t)判决为s2(t)的代
可以看出，要使错误的代价尽可能小，则第二项必须为负数， 也就是c12p2(y ) c21p1(y ) 根据前文中所述对似然准则和似然比的 描述，可得出在贝叶斯准则条件下的似然比
l(y )
p2(y ) p1(y )

c 2 1 c1 2

这就表明了要尽可能减少误判，就是要根据先验概率和差错代 价，对阈值进行精心的选择和设计。
既然我们已经求得yk的一阶和二阶统计量， 且yk又是联合高斯分布的， 那么我们可以给出两个假设的联合概率密度
pi
(y)Fra bibliotek(21
)N/2
N
exp 1 2
N n1
( yn sin )2
2
,i
1
or
2.
(16)
log l( y)
1
2 2
N
( yn
n1
s2n )2
si (t) 是原始信号 n(t) 是噪声信号
• 应用
数字通信：M为数字信号的进制数，一般为二进 制
雷达和声纳：确定目标存在，确定目标位置 （雷达性能优于声纳）
最佳接收机概述
What？
通过设计接收端，使得接收机能够抵抗一些信道的干扰， 得到最佳接收效果。
特定准则下最佳接收方式：
最大输出信噪比准则；最小均方误差准则；最小错误概率 准则；最大后验概率准则。。。
tk /2
Enk2

1 2
tk /2 tk /2 En(t)n(s)dtds
tk /2 tk /2

1 2
N0
(t

s)dtds

N0 2
dt tk /2 N0
tk /2

从噪声nk的统计特性，得到yk的统计特性
• 由于yk sik nk , k 1, 2, , N, 那么Eyk E(sik nk ) sik Enk sik