2）对正定矩阵 B 进行平方根（cholesky） 分解，可得 B GGT ，其中 G 是可逆下三角 矩阵。
于 是 (1) 式 可 写 为 Ax GGT x ， 令
y GT x，则有 x (GT )1 y (G1 )T y ，代入 上式得
A(G1 )T y Gy ，即 G1 A(G1 )T y y 。
1 r s n ，则有
min x0
R(
x)
r
，
max x0
R(
x)
s
。
二、 对称矩阵特征值的极性
定理 3、（ Couanrt hrFsei
）设实对称
矩阵 A 的特征值按 1 2 n 的次序排 列，则 A 的第 k 个特征值
k
min max{xT Ax Vk
xபைடு நூலகம்Vk ,
x
2
1}，
其 中 Vk 是 Rn 的 任 意 一 个 k 维 子 空 间 ，
1 k n。
二、 对称矩阵特征值的极性
2、广义特征值的极小极大原理
定义 4、设 A 、B 为 n 阶实对称矩阵，且
B 正定， x Rn 。称
R(x)
xT xT
Ax Bx
，
x
0
为矩阵 A 相对于矩阵 B 的广义 Rayleigh 商。
二、 对称矩阵特征值的极性
定理 4、非零向量 x0 是 R( x)的驻点的充
推 论 2 、 设 Vnk 1 是 Rn 的 任 意 一 个 n k 1维子空间，则定理 5 或推论 1 的结论
可写成如下形式：
k
max[ min R(x)] ， Vnk1 0 xVnk1
nk 1
min[ max
Vnk1 0 xVnk1
R(x)] 。
第十八讲
广义特征值问题及 对称矩阵特征值的极性
一、 广义特征值问题
1、定义
定义 1、设 A 、 B 都是 n 阶实对称方阵，
且 B 为正定的，求数 C 使方程
Ax Bx
(1)
有非零解 x C n 。 称形如(1)的特征值问题
为矩阵 A 相对于矩阵 B 的广义特征值问题，
简称为广义特征值问题；称满足(1)式要求的
称作 B 正交（共轭）条件。
一、 广义特征值问题
按 B 标准正交化向量系 x1, , xn 具有以 下性质：
性质 1、 xi 0 (i 1, 2, , n) 性质 2、 x1, , xn 线性无关。
二、 对称矩阵特征值的极性
1、实对称矩阵Rayleigh商的极性
定义 3：设 A 是 n 阶实对称矩阵，x Rn ， 称
要条件是 x0 为 Ax Bx 的属于特征值 的特
征向量。
推论：若 x 是 Ax Bx 的特征向量，则
R( x)是与之对应的特征值。
二、 对称矩阵特征值的极性
定理 5、设Vk 为 Rn 中的任意一个 k 维子
空间，则广义特征值问题 Ax Bx 的第 k 个
特征值和第 n k 1个特征值具有下列的极
令 S G1 A(G1 )T ， 则 ST S ， 且
Sy y 。
于是广义特征值问题等价地转化为对称 矩阵 S 的普通特征值问题。
一、 广义特征值问题
3、特征向量的共轭性
定义 2、若向量系 x1, , xn 满足
xiT
Bx j
0 1
i j i j
(2)
则称为按 B 标准正交化向量系。(2)的第一式
R(x)
xT Ax xT x
，
x
0
为矩阵 A 的 Rayleigh 商。
二、 对称矩阵特征值的极性
性质： 1） R( x)是 x 的连续函数。
2） R ， 0 ， R( x) R( x) 。
3） x L(x0 ) ( x0 0) 时， R( x)是一常数。 4） R( x)的最大值和最小值存在，且能 够在单位球面 S {x | x Rn, x 1}上达到。
小极大性质：
k
min[max Vk 0 xVk
R( x)] ，
称此式为特征值的极小极大原理，
nk 1
max[ min Vk 0 xVk
R(x)] ，
称此式为特征值的极大极小原理。
二、 对称矩阵特征值的极性
推论 1、把定理 5 中的“广义特征值问题
Ax Bx ”换为“实对称矩阵 A ”结论成立。
数 为矩阵 A 相对于矩阵 B 的特征值；而与
相对应的非零解 x 称为属于 的（广义）特
征向量。
一、 广义特征值问题
2、广义特征值问题的等价形式
1）把 Ax Bx 两端同时左乘 B1 得 B1 Ax x
这样就把广义特征值问题(1)等价地化为矩 阵 B1 A的普通特征值问题。
一、 广义特征值问题
2
二、 对称矩阵特征值的极性
设实对称矩阵 A 的特征值(都是实数)按 其大小顺序排列为 1 2 n ，对应的标 准正交特征向量系设为 p1, p2 , , pn ， 则有
定理 1、设 A 为实对称矩阵，则
min x0
R(
x)
1
，
max x0
R(
x)
n
。
定理 2、设 x L( pr , pr1, , ps ) ，