图 1 层状横观各向同性地基 Fig.1 Transversely isotropic multilayered foundation soils
2
层状横观各向同性地基解
单层地基表面与深度 z 处位移量和应力量间的
[7]
（5）
关系为
G ( ,z ) ( , z )G ( ,0)
（ 1）
U ( x, y, H i ) U ( x, y , H i ) Z ( x, y , H i ) Z ( x, y , H i ) X ( x, y, H i ) X ( x, y , H i ) W ( x, y , H i ) W ( x, y , H i )
地基的柔度矩阵。 假定地基与基础底面完全接触，则基础的变形 ω 和地基的沉降相等，地基反力 R 和基础对地 基的作用力大小相等，即
ω S R Re
4

（8）
数值分析与计算
此算例主要讨论矩形刚性板比较合理的网格
4.1 矩形刚性板网格划分数 T 值的确定 划分数 T 值，分别研究刚性矩形板沿 x 方向和 y 方 向的网格划分数 T1 和 T2 与中心点地基反力的关系， 确定合理的网格划分数 T 值。 算例中的板宽为 6 m， 在长宽比为 1～2 范围内的情况， 具体的参数和地基 反力的结果见图 3。 图 3 表明，对于矩形刚性板，不论沿着 x 方向 还是 y 方向，网格数达到 12，即 T1 T2 12 ，地基 反力趋于稳定，说明刚性矩形板长宽方向网格数分 别达到 12 是比较合理的。
U 、 Z 、 X 、 W 定义如下：
U u x u y x y Z z


（ 6）
yz X xz x y W uz
（ 2）
式中： H i Hi H i 1 ； , H i 为第 i 层土的传 T 递矩阵； P41 0, q ,0,0 ； q 是对 q 进行双重 Fourier 变换后的量。 结合边界条件（3） 、 （4） ，并利用式（6） ，可 以得到层状横观各向同性地基表面受力时应力和位 移在 Fourier 积分变换域内的解答，再通过 Fourier 逆变换，即可得到其在物理域内的解答。
1 2 1 2
（7）
第5期
T
艾智勇等：横观各向同性地基上刚性矩形基础分析
1349
式中： S s1 , s2 sT1T2 ，为网格中心处地基的 位移；Re 为基础对地基的作用力； ij T T T T 为
1 2 1 2
对 x 轴和 y 轴的力矩； ex 和 e y 分别为外荷载合力关 于 x 轴和 y 轴的偏心距。 由式 （10） 可以得到刚性基础基底反力的分布， 而由式（11）则可得矩形刚性基础所受的外荷载和 偏心距。
摘 要：对横观各向同性地基上刚性矩形板进行了求解。首先，利用表面受矩形均布荷载作用下的层状横观各向同性地基的 位移解答，获得地基的柔度矩阵；然后，通过刚性矩形基础与层状横观各向同性地基的协调条件，建立刚性矩形基础与横观 各向同性地基共同作用的方程，进而求得基础的地基反力。通过编制相应的程序，确定了合理的网格划分值；最后，进行算 例分析，分析了地基横观各向同性性质、矩形刚性基础的长宽比以及地基分层性对地基反力的影响。分析表明：以上 3 种因 素对地基反力有重要影响。 关 键 词：横观各向同性；分层地基；刚性矩形基础；地基反力 中图分类号：TU 443 文献标识码：A 文章编号：1000－7598 (2015) 05－1347－05
1
引
言
形状刚性板的方法；高雪冰等 [5] 对各向同性体的 Love位移函数进行重新修正，得到了圆形刚性承载 板下横观各向同性地基的位移与应力的解析解；艾 智勇等[6]通过将矩形刚性板底面划分成若干个小网 格，每个小网格的地基反力用均布荷载等效代替， 结合传递矩阵法，求得了给定荷载条件下分层地基 的基底反力、沉降和倾斜。以上学者的研究大多假 设地基为各向同性，对于横观各向同性地基上的刚 性基础的研究较为少见。 天然土体经过漫长的沉积过程，往往具有分层 的特性，而且每层土内水平向和竖向的性质差别较
大，因此，将天然土体简化为横观各向同性地基比 较合理。在此基础上，进一步研究刚性基础与横观 各向同性地基的共同作用，具有一定的实际意义。 本文基于文献[7] 得到的层状横观各向同性地 基表面受单位矩形均布力时地基表面的位移解，求 得地基的柔度矩阵，然后将刚性板底面划分成若干 个矩形小网格，每个小网格的地基反力都近似用作 用在该网格区域的矩形均布荷载等效代替，在此基 础上，对受荷矩形刚性基础与分层横观各向同性地 基共同作用的地基反力进行分析和计算。通过算例 研究了矩形刚性板底面比较合理的网格划分数，讨 论了在给定位移和转角条件下，地基横观各向同性 性质、矩形刚性板长宽比以及地基成层性等因素对 地基反力的影响。 假设任何相邻两层是完全接触的，则两层土分 界面上的层间接触条件为
式中： U ( x, y, H i ) 为第 i 层中深度 z H i 处的量；
式中： G [U , Z , X ,W ]T ， U 为对 U 进行双重 Fourier 变换后的量，其余符号类似；其中，Φ( , z ) 为单层 横观各向同性地基的传递矩阵，具体元素见文献 [7]； 为 Fourier 变换参数。
Analysis of a rigid rectangular plate footing on transversely isotropic subgrade
AI Zhi-yong1, 2, WU Quan-long1, 2
(1. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, China)
[3] [1－ 2]
收稿日期：2013-12-16 基金项目：国家自然科学基金资助项目（ No. 50578121） 。 第一作者简介：艾智勇，男，1966 年生，博士，教授，主要从事岩土及地下工程方面的研究工作。E-mail ： zhiyongai@
1348
岩
土
力
学
2015 年
T1T2 个网格对应地基上受到的力引起的变形之和，
z q,
x ≤ c,
xz yz 0
y ≤d
（3）
式中： q 为外力均布荷载。 在地基底面处，即 Z H n 处，有
ux uy uz 0
写成矩阵形式为 （4）
S ij T T T T Re
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U ( x, y, H i ) 为第 i 1 层中深度 z H i 处的量；其他 符号同理可知。 根据式（1） ，同时考虑边界条件和层间连续条
件，即可得到分层地基的传递矩阵解：
G , Hn , H i G , 0 P41 i 1 n
式中： u x 、 u y 、 u z 分别为沿 x 、 y 、 z 轴方向的位 移； z 、 xz 、 yz 分别为 z 面上的法向应力和沿 x 、 y 方向的剪应力。 图 1 为多层横观各向同性地基示意图，图中设 有 n 层土，令 H i 、 H i 1 分别为第 i 层土层底面和顶 面距离地表的深度， H 为整个土层的厚度。在地基 表面，即 z 0 处，有
第 36 卷第 5 期 2015 年 5 月
DOI： 10.16285/j.rsm.2015.05.015
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.36 No.5 May 2015
横观各向同性地基上刚性矩形基础分析
艾智勇
1, 2
，吴全龙
1, 2
（1.同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092；2.同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092）
Abstract: This paper presents a solution of a rigid rectangular plate on transversely isotropic foundation. Firstly, the flexibility matrix of the subgrade is achieved based on the displacement solution of transversely isotropic multilayered foundation soils subjected to uniform rectangularly-distributed loading. Secondly, the governing equation of the interaction between the rigid rectangular plate and the layered transversely isotropic foundation soils is developed by using the compatibility conditions of the plate and the foundation, and the governing equation is solved for the reactional force of the foundation. This procedure is then implemented into a computer code with a proper meshing scheme. Finally, a case study is performed, and the effects of the properties of transversely isotropic foundation soils, the length-to-width ratio of the rigid rectangular plate, the thickness of the foundation soil and soil stratification on subgrade reactions are analyzed. The results indicate that the three factors mentioned above have significant influence on the subgrade reaction. Keywords: transversely isotropy; multilayered foundation; rigid rectangular plate footing; subgrade reactions