第１４卷第５期 ２０１２年１Ｏ月 黄山学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕａｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏ１．１４．ＮＯ．５ ０ｃｔ．２０１２
圆面积上作用垂直荷载
下横观各向同性地基的统一解
高雪冰 ，顿志林
（１．黄山学院建筑工程学院，安徽黄山２４５０４１；２．河南理工大学土木工程学院，河南焦作４５４０００）
摘 要：从横观各向同性弹性体轴对称问题的基本方程出发，对各向同性下的Ｌｏｖｅ位移函数进行了重 新修正，采用位移解法的基本原理，利用Ｈａｎｋｅｌ积分变换和其反演变换以及Ｂｅｓｓｅｌ函数理论，得到了当材料
特征值ｓｌ＝ｓ：＝ｓ时，圆面积上作用垂直荷栽下的横观各向同性地基问题的统一解，为求解圆面积上作用任意
垂直轴对称荷栽下的横观各向同性地基问题的解析解提供理论依据。
关键词：横观各向同性：轴对称；位移法；Ｈａｎｋｅｌ变换
中图分类号：ＴＵ４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—４４７Ｘ（２０１２）０５—００３７—０４
０ 引 言
目前，在地基基础工程设计中，应用最广泛的
是Ｗｉｎｌｄｅｒ模型和弹性半空间地基模型，但实际地
基并不是均质各向同性、理想的半无限体。由于各 种原因。天然地基在形成过程中一般都具有固有的
横观各向同性。如在沉积过程中形成的层状结构黏 性土、页岩等，不同薄层内的矿物成份及物理力学
性质是不同的。Ｓｉｍｏｎｓ，Ｋｉｎｇ，Ｓｅｌｖａｄｕｒ￣ｌ －３１等许多学
者认为成层均匀的横观各向同性弹性半空间可以
表示范围广泛的地基。其中弹性体轴对称应力分析
问题在工程中有重要意义，苏联学者Ｌｅｋｈｎｉｔｓｋｉｉ［４１于
１９４０年给出了横观各向同性体轴对称问题的通解， Ｅｕｂａｎｋｓ和Ｓｔｅｒｂｅｒｇ １５］从位移表示的平衡方程出
发，于１９５４年系统地推导了Ｌｅｋｈｎｉｔｓｋｉｉ解；国内 胡海昌。［６１丁皓江，【７Ｊ王炜ｌ８］等对此问题也做了大量
的工作。
文献［９１已对几种常见轴对称荷载下特殊横观各 向同性地基的位移和应力进行了具体的分析。本文
通过对各向同性下的Ｌｏｖｅ位移函数重新修正，采用 位移解法的基本原理，同时利用Ｈａｎｋｅｌ积分变换和
其反演变换和Ｂｅｓｓｅｌ函数理论。 讨论了当材料特
征值ＳＩ：Ｓ：＝ｓ时，圆面积上作用垂直荷载下的横观各 向同性地基问题的位移和应力统一解。
１ 基本方程
对于横观各向同性轴对称问题，其平衡微分方 程为（不考虑体积力）：
皇 ，．ａｒ ．一！［ ：０Ｉ Ｏｒ
＋ｒ－－ －－￣－ｚ－
＋１ ｒ－。｝㈩ ＋ ＋ ：０ Ｉ Ｏ
ｚ ０ｒ ｒ Ｊ 将几何方程代入横观各向同性轴对称问题的
本构方程，即可得到用位移分量表示的物理方程
为． ，：ｄｌｌ ＯＵｒ＋ｄｌ２ ＋ｄｌ３ ＯＷ
：ｄ１２ ＋ｄｌｌ ＋ １３
：： 。 ＋ｄ。３ ＋ｄ，，
．ｒ ［鲁＋ 由 、一 一
收稿日期：２０１２—０７—１２ 基金项目：黄山学院自然科学研究项目（２００７ｘｋｊｑ００１） 作者简介：高雪冰（１９８０－），河南永城人，黄山学院建筑工程学院教师，硕士，研究方向为岩土工程。 顿志林（１９６４－），河南杞县人，河南理工大学教授，硕士，研究方向为岩土工程。 （２）
．３８． 黄山学院学报 ２０１２年
２ ２ ｄ１１ Ａｎ（１一ｎｇ２），ｄ，２ Ａｎ １一 ２），
２ ｄ１３ ｄ１１ ， ２（１＋ １），ｄ３３ Ａ（１— １）
Ｇｚ 鲁 Ｅ２
Ｅ ， ，为横观各向同性面（ｘｏｙ平面）内的弹性
模量和泊松比； Ｅ ， 为垂直横观各向同性面（ｚ轴方向）内的弹
性模量和泊松比：
Ｇ：为垂直横观各向同性面（Ｚ轴方向）内的剪切
模量。
只要测定出横观各向同性地基的５个独立的
工程弹性常数 、 ，４．ｒｅ、Ｇ ，即可得到（２）式中的
参数 的值。
２位移解法
采用位移法求解弹性空间问题的关键是确定
合适的位移函数，使它满足与其相应的位移分量关 系。文献Ⅱｑ叉寸Ｌｏｖｅ位移函数重新修正后的位移函数为：
ｗ＝ｌｑ【熹＋ ＋ ｏ２］肌） 一 ＋ Ｊ＋ 砂（ （３）
由（１）一（３）式可求得与工程弹性常数有关的常 数ａ．ｂ及横观各向同性轴对称问题的相容方程：
： ，反： ，＋ ＋ （４）
Ｏｒ２争鑫 ＋ 去
＝０ （５） 在此采用Ｃ．Ｔ勒克尼茨开记号Ｓ 、Ｓ：，称之为材 料特征值，其中：
Ｓ１ ２ ＋ｄ１ ＋ｄ３３一（ｄ１，＋ｄ６ ） 】＋、／ ＋ｄｌ 一＠ ＋ ） 卜４ ｄ３
２ 将（３）式代入（２）式即可得到应力分量与位移函
数之间的关系为：
一鲁【ａ。 鲁＋ｃｏ等 ＇ｚ）
一寺 导 ＋ｃｏ导 ’ｚ）
一 。［等＋ 等 ｚ
ｒ 【等＋ 卜。筹 ，ｚ）ｚ， 万 。。Ｉ ＋ Ｊ一 。 Ｉ （ｒ， ’ （６） ＝箍一．ｄｌ３，ｅｏ－嚣
根据材料特征值ｓ 、ｓ 之间的关系有两种情况，
对于材料特征值ｓ。≠ｓ：时，文献㈣已作了详细的论
述，在此仅对ＳＩ＝Ｓ。＝ｓ这一特殊情况进行讨论。 ２．１位移和应力分量的一般表达式
对相容方程（５）式进行Ｈａｎｋｅｌ积分变换及其反
演公式，即可得：
（∈，ｚ）＝（ ＋Ｂ￣ｚ）ｅ一 ＋（ ＋Ｄ｝ｚ）ｅ啦Ｉ
（ｒ，ｚ）＝Ｙｏ。。 （∈，ｚ）ｕ，０（ ） ｆ‘７
运用Ｂｅｓｓｅｌ函数的性质和其导函数的Ｈａｎｋｅｌ 变换， 将 （ｒ，ｚ）对ｒ，ｚ求导，再将其代入（３），（６）
式，即可得到横观各向同性轴对称问题的位移和应
力分量的一般表达式（在此仅列出 ，Ｗ， ， ）：
＝ ｛【（１一 ＆）８ｏ一 ＋［（１＋ ＆）Ｄ０＋ Ｃｏ］ ）ｄｅ １
ｗ＝一 肌 ｚ ｅ ｓｃｚ＋（ｃ０＋Ｄｏ 州 ＋ ｌ
｛【哦一（２ ） 】 ＋ｆ ＋（２＋ ∈ｚ）Ｄ０ ）．，。 ｒ） ｌ
Ｏｒｚ—ｄ。 １一 ｆｚ）Ｂｏ一 。＋｛（１＋ ∈ｚ）Ｄｏ＋ ）＇，。（ ｄ∈｝（
＋ ３一 ∈ｚ）８０一 ］ｅ－Ｓ￣ｚ＋【（３＋ｓ∈ｚ）Ｄ０＋ ｃｏｌ 啦 （∈ｒ） ｌ
＝ｃ０ ∈｛一【（２一 ∈ｚ）Ｂｏ一哦］ｅ－Ｓ￣ｚ＋【（２＋ ∈ｚ）Ｄ口＋ Ｃｏ］ｅｓ￣ｚ）Ｊ （ ） ｌ
ａ４ｏ。。ｆ［（Ａ＋ ＆） ＋（ｃｃ＋ｏｄｚ）ｅ＊ｌＳ ｒ）ｄ∈ ｌ
由于 ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是 的函数，上式中Ａ。一－Ａ ３，Ｂ ＝
Ｂ ，Ｃ Ｃ ，Ｄ Ｃ ｏ
２．２任意轴对称垂直荷载作用下的一般解 若横观各向同性地基表面（ｚ＝０）上作用有轴对
称垂直荷载，如图１所示，则边界条件为：
ｌ一 （ｒ） （ａ）
ｔ ｌ ＝ｏ＝０ （ｂ） 又因当ｒ和ｚ无限增大时所有的位移和应力分 量都趋近于零，即：
Ｗ， ，， ， ：，丁：，］＝０ （ｃ）
ｃｒ，，ｏ－ｏ， ｚ）＂／－ｚｒ］＝ｏ （ｄ）
Ｐ（Ｏ — ， ｒ● ＼ ０
Ｚ １
图１ 轴对称垂直荷载作用下横观各向同性地基 ８）
格 中
式 第５期 高雪冰，等：圆面积上作用垂直荷栽下横观各向同性地基的统一解 ．３９．
有Ｂｅｓｓｅｌ函数的性质知，当ｒ一∞时， （ ）和
．，１ ）都趋近于零，所有的位移和应力分量（８）式都
满足（ｃ）式的要求；只有Ｃｏ＝Ｄ０＝０时，才能使当ｚ无限
增大时满足（ｄ）式的要求。
将Ｃｏ＝Ｏ。：０和ｚ＝Ｏ代入（８）式中的 和Ｉ 的积 分表达式，同时利用Ｈａｎｋｅｌ变换，则表面边界条件
（ａ），（ｂ）可写成以下形式：
ＱＢｏ－Ｃ￣Ａｏ№） （ｒ）【 （９）
∈（ｃ３ —ｃ ） （∈ｒ） ＝０ ｌ 一
式中
Ｃ１＝３ｓ２ｅＯ－ｄｏ，Ｃ２＝２ｓｃｏ，Ｃ３￣Ｓ２ｃＯ－ａｏ，Ｃ４＝．￣（Ｓ２ｅＯ－ｄｏ），
ｃ ｅ。 鄙 ４＝ ，
＝ （ｒ）Ｊｏｆｆ．ｒ）ｄｒ
将Ａ。和 的表达式及Ｃｏ＝Ｄ。＝０代入（８）式即可
得到任意轴对称垂直荷载作用下横观各向同性地基
位移和应力分量的一般表达式： 凹盆形荷载；
ｐ为均布荷载集度ｐ＝ 。 ７ｒｒ０ 对上式进行零阶Ｈａｎｋｅｌ积分变换，其变换式
）＝ Ｊｒ． ）
④和 ＝ 代入（１０）式，即可得到横观各向
同性地基的位移和应力分量统一表达式如下：
一 触
ｗ＝上ｄ１３＋ｄｅ， ｓＺｄ＊＊－ －）Ｃ２＋（ｓ２ｄ ６６－ 毒 Ｇ ｃ｜ 】
Ｐｓ ｚｚ—２＇￣－ｌＰ（ｍ—＋１）ｐｒｏ×Ｊ，ｎ（ｘ）ＪＩ（ｒｘ）ｄｘ ｒ０ ｃ０ 【（ 一 ）ｃ２＋（ 一 ）云 Ｇ＋（３８２ｅｏ－ ） 】
—２＇￣－１１ ＇（ｍ＋一１）ｐｒｏ （ 出
一Ｃｏ￣￣￣［（ｓ２ｃｏ－ａｏ） ＋（ＳＺＣｏ＿ａ￣）Ｚ ｘＣ３一 ｃｏｃ３
× ：二 ； ：； ！ × （ ）．， （ ）ｄｘ
／４＝Ｇ 【Ｏ－￣ｚ）ｑ一 （勺 （ ｌ 以上式子一般难以求得其精确解，在实际工程
ｗ： 一 （ 一 ．－１ｔＧ－ Ｌｆ￣ － － 。）＆－２ ］Ｇ） 日，０（ ｌ 应用中则可以采用数值积分求得数值解，而对于某
（ 刊 －（ｄｏ－３￣Ｚｅｏ）］Ｑ｝ｅ－＊￣）Ｊｏ ｃ ｆ（１０）觜
＝Ｇ （ ）Ｇ ） 一 ］Ｇ） （日 （ 必 Ｊ 有限，在此仅给出最后结果。
～壶 。。址 １
从（１０）式可知，当轴对称垂直荷载Ｐ（ｒ）已知时， ¨，ｒ－－Ｏ＝ Ｊ 一 。）ｃ２—２ ｃ， 】ｆ １～ ＋ ： Ｉ
３作用垂直荷载下横观各向同性地基统一解
当材料特征值Ｓ ≠ｓ：时，文献【１】】对此问题已作了
探讨。在此仅对ＳＩ＝Ｓ ＝ｓ这一特殊情况对该问题进行 讨论。圆面积上轴对称垂直荷载作用下横观各向同
性地基上的荷载的表达式为：
州 一导
ｌ ０ （ｒ＞ｒｏ） 式中：
ｍ为荷载类型系数（ｍ＞０）；当ｍ＝１时，为圆形均
布荷载；当ｍ＝手时，为半球形荷载；当ｍ＝ 时，为 ｄ１））（（…
＝警 －＋ｃ ＋
ＴＣｏＣ３ＰｓＺ ［１＋（ ｉ Ｉ Ｊ
ｒ Ｉ ：。＝０ （１２）
在表面中心处最大沉降值，只需把ｚ＝Ｏ代入（１２）式
中的第二式即可：
叼：ｌ脚＝ ［ 一ｄ。。）Ｃ２—２ｓ （１３） Ｉ： 用几种常见荷载类型系数代入 ， ， ，然后再
将这些函数值代入（１２）式，即可检验位移和应力分
量表达式的正确性。