（In=Cn/2+σ），Cn/2h标记，群阶为n 。
Td点群 ——有4个C3，3个I4，6个σd，群阶为24。
Oh点群 ——有3个C4，4个C3，6个C2，6个σd，3 个σh，i，群阶为48。
Ih点群 ——有6个C5， 20个C3，15个C2， 15个σ， i，群阶为120。
分子
确定分子点群的流程简图
➢ 对称元素的组合规则
根据对称操作的乘法关系可以证明： 当分子中两个对称元素按一定的相对位 置同时存在时，必能导出第三个对称元 素。
Cn v Cn，n v
Cn C2 Cn，n C2
Cn h Cn， h，i(n为偶数) Cn h vC2 Cn，n C2， (n 1)，i(n为偶数) S4或I4(C2 )
对称操作群——分子点群
分子的对称元素服从对称元素组合
规则，每一分子都具有一个特定的对称 元素系，由它产生的全部对称操作构成 一个对称操作集合 G，考察此集合对对 称操作的乘法的性质，可发现该集合 G 具备下列四条性质：
1. 封闭性
2. 结合律
3. 单位元
4. 逆元
称此对称操作集合对于对称操作的乘法构成一个 群，此群称为对称操作群。
{ˆ ,ˆ 2 Eˆ }
➢ σ。
H2O、NH3、BF3、HCN等分子均有
B2Cl4
映(转)轴和旋转反映操作
➢ 映(转)轴记为Sn，所对应的全部旋 转反映操作记为
n＝奇 {Sˆn1 , Sˆn2 ,, Sˆnn ˆ , Sˆnn1,, Sˆn2n Eˆ }
n＝偶 {Sˆn1 , Sˆn2 , Sˆn3, Sˆn4 ,, Sˆnn Eˆ }
旋转轴与旋转操作
➢ 旋转轴记为Cn，轴次记为n，旋转操 作的基转角α=360°/n。 ➢ 旋转轴 Cn所对应的全部对称操作为
{Cˆ n1 ,Cˆ n2 ,Cˆ n3 ,Cˆ n4 ,,Cˆ nn Eˆ }
➢ 在一个分子中若有多个轴，n≥2称为 主轴，其余为副轴。 ➢ 分子中常见的旋转轴有C2、C3、C4、 C6、C∝等。
Dnd点群 ——有一个对称轴Cn、n个垂直该轴的二 重对称轴C2 ， n个通过主轴平分副轴的对 称面σd，群阶为４n。
Sn点群 ——有一个反轴In或映轴Sn，当n为4的整 数倍时，用符号Sn标记，群阶为n。
—— n为奇数时（In=Cn+i），用符号Cni
标记，群阶为2n 。 ——当n为偶数（不为4的整数倍）时
旋转轴
Cn
对称(中)心 i
对称面
映(转)轴
Sn
反轴
In
旋转
Cˆ nm
反演
iˆ
反映
ˆ
旋转反映
Sˆ
m n
旋转反演
Iˆnm
对称元素的组合规则
➢ 对称操作的乘积
单个对称操作作用在分子结构上可使 之复原。 两个对称操作的连续实施亦同样能使 分子结构复原。 两个对称操作连续实施的结果必然对 应另一个对称操作，称后一操作为前二 操作的乘积 ,即 Cˆ BˆAˆ 。
本章的主要内容
➢ 对称元素和对称操作 ➢ 对称元素的组合规则 ➢ 对称操作群——分子点群 ➢ 分子点群的确定 ➢ 分子的对称性与分子的性质
对称性——
物体中的相同部分性质能够在不 同方向或位置上有规律地重复出 现的特性。
对称操作—— 不改变物体本身任意两点间距离， 并能使之复原的运动。
对称元素—— 完成对称操作所必须依赖的几何 要素。
Cnh点群
——有一个对称轴Cn和垂直该轴的对称面 σh，群阶为2n。
Cnv点群
——有一个对称轴Cn和n个通过该轴的对 称面σv，群阶为2n。
Dn点群 ——有一个对称轴Cn和n个垂直该轴的二 重对称轴C2 ，群阶为2n。
Dnh点群 ——有一个对称轴Cn、n个垂直该轴的二 重对称轴C2 和垂直该轴的对称面σh ， n 个通过该轴的对称面σv，群阶为４n。
对称(中)心和反演操作
➢ 对称(中)心记为i，对称操作记为 iˆ。
➢ 对称(中)心所对应的全部对称操作为
{iˆ, iˆ2 Eˆ }
➢ C6H6、SF6、CO2、C2H2等分子均有 i。
对称面与反映操作
➢ 对称面记为σ，对称操作记为 ˆ。
➢ 根据与对称轴的关系分为σh(垂直主 轴)、σv(通过主轴)、σd(通过主轴平分 副轴)。 ➢ 对称面所对应的全部对称操作为
结构化学
第四章分子的对称性与点群
生 物 界 的 对 称 性
自然规律的对称性
Pauli原理
1s (1) 1s (1) 1s (2) 1s (2)
分子轨道的对称性
在分子结构中，原子在空间不同的 排列构成对称图形，不同结构的分子其 对称性不同。分子的对称性和其它分子 性质一样是表征分子特性的重要物理量， 并且分子的对称性还是联系分子结构和 分子性质的重要桥梁之一。
一定的对称元素对应一定的对称操作，分子点 群中的对称操作（群元素）往往归属分子的对称 元素。故在确定分子所属点群时，通常是寻找分 子结构的所有对称元素，这样可使确定分子点群 的问题简化。当我们完全而没有遗漏地找到了分 子的对称元素系时，则其分子点群也就确定了。
分子点群的确定
Cn点群
群元的个数
——只有一个对称轴Cn，群阶为n。
例如，NH3的对称操作群为：
NH3 对称操作群{Cˆ 31,Cˆ 32 ,Cˆ 33 Eˆ ,ˆa ,ˆb ,ˆc }
由于分子的几何外形为有限图形，故分子中 所有对称元素至少要相交于一点，在实施对 称操作时该点不动，故对称操作群又称为点 群。
如何确定分子点群？
确定分子点群应该寻找的群元 是对称操作，而不是对称元素。
➢ 对于n=4的整数倍的映(转)轴为独立 的对称元素 。 ➢ CH4分子中有三个S4 (I4)，一个S4 (I4) 对应的对称操作为
{ Sˆ 41 ˆCˆ 41 , Sˆ 42 Cˆ 42 , Sˆ 43 ˆCˆ 43 , Sˆ 44 Eˆ }
旋转
等价图形
反映
环辛四烯衍生物中的 S4
独立的对称元素和对称操作
线形分子: Cv , Dh
有多条高阶轴分子（正四面体、正八面体…) 只有镜面或对称中心, 或无对称性的分子:
只有S2n(n为正整数）分子: S4 , S6 , S8 ,...
Td ,Oh , Ih ... C1 ,Ci ,Cs