圆性质及基本概念公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
圆性质及基本概念
一基本概念
1．定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点称为圆心，定长称为半径；圆O记作?O．
2．相关概念：
（1）弧：半圆、优弧、劣弧：（2）弦：直径（3）弦心距：
（4）圆心角：（5）圆周角：（在同圆或等圆中5要素知道一可推得其他都相等）
二重要定理
垂径定理：
垂直于弦的直径,平分弦并且平分弦所对的优弧和劣弧．
推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧．
垂径定理推论一：对于一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。

（当以、②③为题设时，“弦”不能是直径。

）
相关定理
圆周角定理：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半；
圆周角定理推论：
1．直径所对的圆周角是90°，90°圆周角所对弦是直径. 2．同（等）弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等；
三点定圆定理：
三点定圆定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.三角形的外心与内心
一概念练习
1已知：⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，
CD=10cm，则AB、CD之间的距离为（）
A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm 或7cm
2下列四个命题：
①直径是弦；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
④半径相等的两个半圆是等弧．
其中正确的是（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3如图，△ABC 内接于⊙O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论 ④ AB ⊥DE ，②AE=BE ，③OD=DE ，
④∠AEO =∠C ，⑤ ⌒AE = 2
1⌒AEB 正确结论的个数是（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
二基础证明题
1如图，AD 、BC 是⊙O 的两条弦，且AD=BC ，求证：
AB=CD ．
2、如图，AB 、CD 都是⊙O 的弦，且AB ∥CD ，求证： AC = BD 。

3如图，已知，在□ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD 于G ，
BA 的
延长线交⊙O 于E ，求证：EF = FG 。

A
B
C D O ⌒ ⌒
A E F
O A B
C D E F 4、如图，在⊙O 中，点O 是∠BAC 的平分线上的一点，求证：AB = AC 。

5 . 如图，在△ABC 中，∠B = Rt ∠，∠A = 600，以点B 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 于点D,交BC 于点E ．求证： (1) AD = 2ED: ( 2 ) D 是AC 的中点．
三垂径定理计算习题
1、 (南京市)如图2，矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于点G 、B 、F 、E ， GB ＝8cm ，AG ＝1cm ，DE ＝2cm ，则EF ＝ cm .
2矩形ABCD 的边AB 过⊙O 的圆心，E 、F 分别为AB 、CD 与⊙O 的交点，若AE=3cm ，
，DF=5cm ，则⊙O
3．如图AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 于O ，交AC 于D ，OD=2，∠A=30°,求CD 。

N M O G F E
D C B
A A
B
C O
A B
E
O
D
C
B
A
4.如图所示，⊙O的半径为3，AB是⊙O的直径，半径CO⊥AB,P为CO
5．如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E 到圆心O的距离等于1，则2
2CD
AB ＝（）
A、28
B、26
C、18
D、35
，⊙O半径为5，则OP长为
BC于D，弧BA等于弧AF，BF与AD交于E，求证：（1）AE＝BE，（2）若A，F把半圆三等分，BC＝12，求AE的长。

B
A
C
D
E
F
B
A
•第1题图 E D C B
A •第3题图
O E D C B A 8如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900
，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 、AD 的长。

9、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，且AC ＝6，AB ＝8，求CE 的长。