圆的有关性质【中考考纲解读】1．课标要求①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系．②了解圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征． ③掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题．2．考向指南从2008、2009两年广东省统一中考数学试卷来看，本讲所学的圆的有关概念、弧长的计算、圆周角定理，垂径定理与三角形的联系等知识点考查的可能性较大．题型以选择题和填空题为主，难度不大，所占分值一般在3～5分．【考点知识网络】【中考考点剖析】考点1：圆的有关概念1． 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．其中，定点为圆心，定长为半径 2． 弦：连接圆上任意两点的线段． 3． 直径：经过圆心的弦．4． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．5． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 6． 优弧：大于半圆的弧，用三个大写字母表示，如ABC ． 7． 劣弧：小于半圆的弧，用两个大写字母表示，如AC ． 8． 弓形：由弦及其所对的弧组成的圆形． 9． 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆．10．等圆：能够重合的两个圆或半径相等的两个圆． 11．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧． 12．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 13．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．14．圆周角：顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎩⎩基本概念:弧 弦 圆心角 圆周角确定圆的条件对称性圆基本性质垂径定理圆心角 弧 弦的关系圆周角定理2个推论例1（2009中考改编题）下列说法中：①圆心决定圆的位置；②半径决定圆的大小；③直径是弦，但弦不一定是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤半径相等的圆是同心圆；⑥一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧；正确的结论有（）A．3 B．4 C．5 D．6思路点拔：对照圆的定义及弦、弧、同心圆等概念进行判断．解析：由圆的定义可知①②正确；直径是过圆心的特殊的弦，而弦不一定是直径，③正确；半圆是特殊的弧，但弧不一定是半圆，④正确；半径相等的圆称为等圆，有可能圆心不在同一点，⑤错误；直径把把圆分成的两条弧既不是优弧，也不是劣弧，⑥错误；答案为B．题型感悟:本题是对圆的基本概念的考查，要结合图形理解概念，仔细辩别相关概念的联系与区别．同类考题预测1下列命题中，假命题是( )A．等弧的度数相等； B．等弧必须是同圆或等圆中的弧，否则不能互相重合；C．度数相等的弧不一定是等弧； D．长度相等的弧是等弧；考点2：垂径定理1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．注意：垂径定理的理解：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示)．2．推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．例2（2009山东济南）如图，30PAC∠=︒，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．思路点拔：过圆心O作弦EF的垂线OG，必平分弦，则半径OF、弦心距OG、弦EF的一半可构成直角三角形，再根据勾股定理即可求得弦EF长．解析：过点O作OG⊥AP于点G，连接OF∵ DB=10，∴ OD=5∴ AO=AD+OD=3+5=8∵∠PAC=30°∴ OG=12AO=1842⨯=cm∵ OG⊥EF，∴ EG=GFOAD BEFPＧ2222543OF OG --= ∴ EF =6cm题型感悟: 本题考查了垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这 种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法要加以重视． 同类考题预测2如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6， ∠DEB=30°，求弦CD 长．考点3：圆心角、弧、弦、弦心距间的关系1．定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 2．推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 例3（2009中考改编题）如图，⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，弦CE ∥AB ，EC 的度数是40°，则∠BOD ＝ ；思路点拔：在同圆或等圆中，圆心角的度数与所对弧的度数相等． 解析：∵CE ∥AB ∴ AE =BC ，∵EC 的度数是40°，AE ＋EC＋BC =2AE ＋EC =180 ∴AE =70 ∴AC 的度数是110，即∠BOD=∠AOC=110题型感悟:本题考查了圆中弧与圆心角数量间的关系．在应用有关弧、弦、圆心角关系的定理及推论时，应注意“在同圆或等圆中”这一前提条件．同类考题预测3一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．考点4：圆周角定理1．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半． 2．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．例4（2008广东湛江）如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ．（1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．思路点拔：（1）利用垂径定理与圆周角定理求解；(2)构造由“半径、弦长 的一半和弦心距”组成的直角三角形，再利用勾股定理进行计算； 解析：(1)∵AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于E ，∴CE=ED ， CB DB =ED B AO CBCDA E OA BCDE O∴∠BCD=∠BAC∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∴∠ACO=∠BCD(2)设⊙O 的半径为Rcm ，则OE=OB -EB=R -8CE=21CD=21⨯24=12 在Rt ∆CEO 中，由勾股定理可得OC 2=OE 2+CE 2 即R 2= (R -8)2 +122 解得 R=13 ∴2R=2⨯13=26 答：⊙O 的直径为26cm ．题型感悟：(1)有关圆的题目，圆周角与它所对的弧常互相转化，即欲证圆周角相等，可转化为证“圆周角所对的弧相等”；(2)利用垂径定理进行有关弦的计算时，常“作出弦心距，再添一半径”与之构成直角三角形，利用勾股定理进行计算 同类考题预测4如图所示，AB 是O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ， 交O 于点D ，点E 在O 上．（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．【中考实战演练】基础知识过关一、选择题1. 在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ） A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACD C ．AD BD = D ．PO=PD 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ） A ．AB =2CD B ．AB >CD C ．AB <2CD D ．不能确定3．已知AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为（ ） A 、10 B 、8 C 、6 D 、44．如图：点A 、B 、C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，若72AOB ∠=︒，则ACB ∠的度数是（ ） A ．18° B ．30° C ．36° D ．72° 5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，OD ∥AC ，下列结论错误的是（ ） A ．∠BOD ＝∠BAC B ．∠BOD ＝∠COD C ．∠BAD ＝∠CAD D ．∠C ＝∠D6．三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定EBC AOO C B A B OACD7．已知⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是（ ） A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.5 8．已知O 是等边三角形ABC 的外接圆，O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A 3B 5C ．23D ．5二、填空题9．若d 为⊙O 的直径，m 为⊙O 的一条弦长，则d 与m 的大小关系是 ． 10．命题“圆的直径所对的圆周角是直角”是 命题（填“真”或“假”） 11．半径为2a 的⊙O 中，弦AB 的长为3a ，则弦AB 所对的圆周角的度数是__________． 12．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm ，则它的弦心距为 cm ． 13．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠=，则ADC ∠的度数为 ．14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，∠ABC=30°过圆心O作OD ⊥BC 交弧BC 于点D ，连接DC ，则∠DCB= ．15．如图所示的半圆中，AD 是直径，且3AD =，2AC =，则sin B 的值是 ．16．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______． 三、解答题：17．在⊙O 中，已知两弦AC 、BD 垂直相交于M ，若AB ＝6，CD ＝8，求⊙O 的半径．18．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．19.已知：如图，M 是AB 的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C ，设⊙O的半径为4cm ，MN ＝3．（1）求圆心O 到弦MN 的距离；（2）求∠ACM 的度数．20．如图所示，AB 是O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交O 于点D ，点E 在O 上．（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．能力提升冲刺1．如图．AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于E 点，BC 交⊙O 于D 点，CD=BD ，∠C=70°． 现给出以下四个结论：①∠A=45°； ②AC=AB ： ③AE BE =； ④CE ·AB=2BD 2．NM O BA C· D E BC AO C D O AOBD CA CB D A_C_E _O_F其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④ 2.如图，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B 、C 两点（ ）恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC 的长度等于 Ａ．6π Ｂ．4π Ｃ．3π Ｄ．2π3．O 为锐角△ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，垂足分别为D 、E 、F ，则OD ∶OE ∶OF 为（ ） A ．a ∶b ∶c B ．a 1∶b 1∶c1C ．cosA ∶cosB ∶cosCD ．sinA ∶sinB ∶sinC 4．如图，⊙O 的直径AB ＝6，P 为AB 上一点，过P 作⊙O 的弦CD ，连结AC 、BC ，设∠BCD ＝m ∠ACD ，当347+=APBP时，是否存在正实数m ，使弦CD 最短？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．《圆的有关性质》参考答案【同类考题预测】 1． D2．解析：过O 作OF ⊥CD 于F ，如右图所示∵AE=2，EB=6，∴OE=2，又∵在Rt △OEF 中，∠DEB=30°，∴OF=1∴3OF=1，连结OD ，在Rt △ODF 中，42=12+DF 2，15153．13或534．解析：（1）OD AB ⊥，AD DB ∴=11522622DEB AOD ∴∠=∠=⨯=（2）OD AB ⊥，AC BC ∴=，AOC △为直角三角形， 3OC =，5OA =，由勾股定理可得2222534AC OA OC =--=28AB AC ∴==【基础知识过关】1．D 2．A 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C 9．d m ≥ 10．真 11．120°或60° 12．3 13．55° 14．30 15．2316．8 , 10 17．解析：连结CO 并延长交⊙O 于E ，连结ED 、AE ，设⊙O 的半径为R ，则∠EDC ＝∠EAC ＝900，∴2224R ED CD =+．∵AC ⊥BD ，∴AE ∥BD ， ∴⋂⋂=ED AB ，∴AB ＝ED ，图 2FE D CBA•15题图PODCBA∴2224R CD AB =+，而AB ＝6，CD ＝8，∴R ＝518．解析：解：设弯路的半径为R ，则OF=（R-90）m ∵OE ⊥CD ∴CF=12CD=12×600=300（m ） 根据勾股定理，得：OC 2=CF 2+OF 2即R 2=3002+（R-90）2解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m ．19．解析：（1）连结OM ．∵点M 是AB 的中点，∴OM ⊥AB ． 过点O 作OD ⊥MN 于点D ，由垂径定理，得1232MD MN ==在Rt △ODM 中，OM ＝4，23MD =OD 222OM MD -=． 故圆心O 到弦MN 的距离为2 cm ． （2）cos ∠OMD ＝3MD OM =， ∴∠OMD ＝30°，∴∠ACM ＝60°．20．解析：（1）OD AB ⊥，AD DB ∴=11522622DEB AOD ∴∠=∠=⨯=（2）OD AB ⊥，AC BC ∴=，AOC △为直角三角形， 3OC =，5OA =，由勾股定理可得2222534AC OA OC =--=28AB AC ∴==【能力提升冲刺】 1．C 2．C 3．C4．解析：连结OD ，设存在正实数m ，则在⊙O 中过P 点的所有弦中，只有垂直于直径的弦最短． ∴CP ⊥AB 于P ．∵347+=APBP， 设AP ＝k ，则BP ＝k )347(+，又AB ＝6∴6)1347(=++k ，解得2336-=k ∴OP ＝OA －AP ＝23363--＝233在Rt △POD 中，cos ∠POD ＝23OD OP ， ∴∠POD ＝300，∠ACD ＝150∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝900∴∠BCD ＝900－150＝750∵∠BCD ＝m ∠ACD ∴m ＝5，即存在正实数m ，使CD 弦最短．。