第26卷第1期2005年3月 力 学 季 刊CHINESE QUART E RLY OF MECHANIC SVol.26No .1March 2005动态扩展裂纹的若干反平面问题的研究王刚1,吕念春2,唐立强1,程云虹3(1.哈尔滨工程大学船舶工程学院,哈尔滨150001;2.哈尔滨工程大学建筑工程学院,哈尔滨150001;3.东北大学土木工程系,沈阳110006)摘要:采用复变函数论,对反平面条件下的动态裂纹扩展问题进行研究。
通过自相似函数的方法可以获得解析解的一般表达式。
应用该法可以很容易地将所讨论的问题转化为Riemann )Hilbert 问题,并可以相当简单地得到问题的闭合解。
文中分别对裂纹面受均布载荷、坐标原点受集中增加载荷、坐标原点受瞬时冲击载荷以及裂纹面受运动集中载荷Px/t 作用下的动态裂纹扩展问题进行求解,得到了裂纹扩展位移、裂纹尖端的应力和动态应力强度因子的解析解。
应用该解并通过叠加原理,就可以求得任意复杂问题的解。
收稿日期:2004-05-09关键词:复变函数;反平面;裂纹扩展;解析解中图分类号:O346.1 文献标识码:A 文章编号:0254-0053(2005)01-121-7Studies on Some An t-i Plane Problems of a Dynamic Propagation CrackWANG Gan g 1,L B Nian-chun 2,TANG Li-qian g 1,CHENG Yu n-hong3(1.Shipping Project Institute.Harbin Engineering University,Harbin 150001,China;2.School of Ship ping Engineering,Har bin Engineering University,Harbin 150001,China;3.Dep artment of Civil E ngineering,Northeastern University,Shenyang 110006,China)Abstract:By the application of complex functions theory,the dynamic crack propagation problems under the condition of ant-i plane were investigated.The general representations of analytical solutions were ob -tained by the methods of selfsimilar functions.The problems can be easily transformed into Riemann -Hi-l bert problems and their closed solutions were attained rather simple by this method.The dynamic crack propagation problems for the cracked surfaces subjected to uniform loads,an increasing load concentrated at the origin of the coordinates,an instantaneous impulse load at the origin of the coordinates and the ed -ges of the crack subjected to a moving concentrated load were solved respectively,and the analytical solu -tions on the displacements of crack propagation,stresses of the crack tip and dynamic stress intensity fac -tors could be obtained.Utilizing those solutions and superposition theorem,the solutions of arbitrarily complex problems can be found.Key words:complex functions;ant-i plane;crack propagation;analytical solutions由复合材料组成的各类结构极易出现微观裂纹,裂纹逐渐扩展并导致结构失稳,丧失结构的承载能力,因此研究裂纹扩展问题具有重要意义。
对这类静力问题已有许多人进行了研究,但这一类动力学问题,由于数学上的困难,人们研究的还远远不够深入[1-3],因此有必要对反平面的断裂动力学问题进行了深入研究,利用复变函数论的方法给出解的一般表示。
应用该法可以很容易地将所论问题转化为Riemann -Hilbert 问题,而后一问题容易用通常的Muskhelishvili[4-5]方法求解。
1正交异性体反平面问题运动方程的自相似解对于正交异性体,我们选择Cartesian坐标轴和物体的弹性对称轴相一致,所考虑的问题被限制在反平面上,则正交异性体的反平面问题的运动方程为:C5592w/9x2+C4492w/9y2=Q92w/9t2(1)式中C44、C55为弹性常数,Q为材料密度,w为沿z方向的位移,采用Atkinson变换[6]:N=x-G t+Ty(2)这里G为复变量,T为G的函数。
现构造运动方程的解如下:w=Re Q]-]<(N)d G(3)式中的积分是在G的实轴上进行的。
将(3)代入(1)式后可知,只要满足关系式:C55+C44T2-Q G2=0(4)则运动方式程(1)将成为恒等式,因此<(N)是由边界条件所确定的任意函数。
而(4)式有两个根,我们仅取虚部为正的根,而后可得:T(G)=i(C55-Q G2)/C44(5)然后,将(3)代入(1)的正交异性体物理方程可得:S yz=Re Q]-]C44T9<(N)/9N d G,S xz=Re Q]-]C559<(N)/9N d G(6)在y=0上,(2)式转化为N=x-G t(7)利用文献[7-9]的推导过程可知,无论应力是齐次、位移是齐次、还是具有任意自相似指数的问题,均有如下的相关表达式。
当Lw是齐次函数时,我们令:w0=Lw,S0xz=L S xz,S0yz=L S yz(8)当L S xz、L S yz是齐次函数时,我们令:w0=9Lw,S0xz=9L S xz,S0yz=9L S yz(9)则总有[4-6]:9X0/9S=Re[F(S)/T(S)]/C44,S0yz=(1/t)Re F(S)S0xz=[C55/(C44t)]Re[F(S)/T(S)],(10)若令:f(S)=F(S)/T(S)(11)则(10)式变为[7-9]:9w0/9S=Re f(S)/C44,S0yz=(1/t)Re f(S)T(S)122力学季刊第26卷2 反平面问题的动态裂纹模型的说明假设裂纹从无穷小的微观裂纹形成,并以自相似的方式沿着x -轴高速扩展,即,裂纹由初始长度为0开始,以速度沿着x-轴正、负方向在基体中对称扩展。
关于反平面问题的动态裂纹模型见图1。
对于x -轴和y -轴,此模型有几何的和力学的对称性。
图1中在y =0、-Vt <x <Vt 是基体中裂纹的位置;且在这个区间上作用闭合力,其大小为未知,待定。
该力代表裂纹尖端后部区所受切应力S。
图1 反平面问题的动态裂纹模型示意图Fig 11 Schematic o f a dynamic crack mod el of ant-i plane prob lems3 若干问题的解我们假定t <0时一切静止;在t =0时刻,在坐标原点开始出现一微观裂纹,并以速度V (小于声速)沿x -轴正、负方向对称扩展,且处于平面应变状态下,下面对不同边界条件的问题进行求解。
1)裂纹面受均布载荷下的问题设在t =0时刻,在坐标原点出现一穿透裂纹,裂纹以常速V 沿x -轴正、负方向对称扩展,且裂纹表面受到均布载荷q 作用,在y =0的半平面上问题的边界条件为:S yz =-q ,|x |<Vt w =0,|x |>Vt(13)显然本问题应力是齐次,这里的L =1,利用(9)、(12)式可将边界条件(13)的第一式写为:S 0yz =0|x |<Vt w 0=0,|x |>Vt(14)根据(9)、(12)及(14)式可推出自相似函数f (S ),因为在区间|S |<V 内f (S )无奇点,而Im [T (S )]在亚音速内为纯虚量,因此f (S )在区间|S |<V 上必为纯实量。
这样,问题(14)将改写为Re f (S )=0,|S |>V Im f (S )=0,|S |<V(15)利用对称性、无穷远条件及裂纹尖端的奇异性[10-11],可得Keldysh -Sedov 问题(13)的唯一解为:f (S )=(A S +B )(V 2-S 2)-3/2(16)由于应力仅在裂纹尖端具有奇异性,因而上式中的分母不能有除(V 2-S 2)-3/2以外的其它项:又由于S →]时,f (S )=o (1),因此分子只能是一次多项式,即A S +B 。
由于位移是x 的偶函数,且以y -轴为对称,故将有B =0。
将(16)式代入到(9)、(12)与(5)式,即可得y =0上的位移、应力及动应力强度因子分别为:123第1期 王 刚,等:动态扩展裂纹的若干反平面问题的研究S yz(x,0,t)=Re Q x/t]-A(C55-Q S2)/C44(S-V)d S|x|>Vt(18)S xz(x,0,t)=C55C44Re Q x/t]-A(S2-V2)3/2d S=-AC55xC44V2x2-V2t2|x|>Vt(19)K3(t)=limx→Vt 2P(x-Vt)Re Q x/t]-A(C55-Q S2)/C44(S-V)d S=A#P t(C55-Q V2)/C44V(20)上式的极限属于0#]型,必须转化为]]型后,方可应用罗比塔(L p Hospita l)法则进行求导计算[12],从而得出上式的极限值。
将(18)式中的S yz分段表达如下:a)在各向同性体中,弹性波的扰动范围可以用半径为c1t、c2t的圆形区域来表示。