一．填空题1. 设2. 设23. = 2884. 齐次线性方程组λ=0或25. 当元二次型正定时, 二次型的秩为 n二．选择题（每小题3分，共15分）1. 设( B )(a) A的两行(或列)元素对应成比例(b) A中必有一行为其余行的线性组合(c) A中有一行元素全为零(d) 任一行为其余行的线性组合2. 设n维行向量( B )(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+3. 设( C )(a) (b)(c) (d)4.s维向量组()线性无关的充分必要条件是( C )(a) 存在一组不全为零的数, 使得(b) 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出(c) 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出(d) 中任意两个向量都线性无关5. 设A为n阶方阵, 且秩两个不同的解,则的通解为( AB )(a) (b) (c) (d)1．下列矩阵中，（）不是初等矩阵。

（A） (B) (C) (D)2．设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。

（A）（B）（C）（D）3．设A为n阶方阵，且。

则（）(A) (B) (C) (D)4．设为矩阵，则有（）。

（A）若，则有无穷多解；（B）若，则有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量；（C）若有阶子式不为零，则有唯一解；（D）若有阶子式不为零，则仅有零解。

5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（）（A）A与B相似（B），但|A-B|=0（C）A=B （D）A与B不一定相似，但|A|=|B|三、填空题（每小题4分，共20分）1．。

2．为3阶矩阵，且满足3,则=______，。

3．向量组，，，是线性（填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是。

4．已知是四元方程组的三个解，其中的秩=3，，，则方程组的通解为。

5．设，且秩(A)=2，则a= 。

1．选B。

初等矩阵一定是可逆的。

2．选B。

A中的三个向量之和为零，显然A线性相关； B中的向量组与，，等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D中的向量组线性相关。

3．选C 。

由，)。

4．选D。

A错误，因为，不能保证；B错误，的基础解系含有个解向量；C错误，因为有可能，无解；D正确，因为。

5．选A。

A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，因此都相似于同一个对角矩阵。

三、1．（按第一列展开）2．；（=）3．相关（因为向量个数大于向量维数）。

因为，。

4．。

因为，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。

5．（大学线性代数期末考试题一、填空题1. 若，则__________。

2．若齐次线性方程组只有零解，则应满足。

3．已知矩阵，满足，则与分别是阶矩阵。

4．矩阵的行向量组线性。

5．阶方阵满足，则。

三、单项选择题1. 设为阶矩阵，且，则（）。

①②③④ 42. 维向量组（3 s n）线性无关的充要条件是（）。

①中任意两个向量都线性无关②中存在一个向量不能用其余向量线性表示③中任一个向量都不能用其余向量线性表示④中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。

①任意个维向量线性相关②任意个维向量线性无关③任意个维向量线性相关④任意个维向量线性无关4. 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

①若，均可逆，则可逆②若，均可逆，则可逆③若可逆，则可逆④若可逆，则，均可逆5. 若是线性方程组的基础解系，则是的（）①解向量②基础解系③通解④ A的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分)1. 计算行列式。

一、填空题1. 52.3.4. 相关5.三、单项选择题1. ③2. ③3. ③4. ②5. ①四、计算题1.一．填空题1．已知是关于的一次多项式，该式中的系数为____________．应填：．2．已知矩阵，且的秩，则___________．应填：．3．已知线性方程组有解，则___________．应填：4．设是阶矩阵，，是的伴随矩阵．若有特征值，则必有一个特征值是_________________．应填：．5．若二次型是正定二次型，则的取值范围是______________．应填：二、选择题1．设，，，，则必有【】．. ；. ；. ；.．2．设是4阶矩阵，且的行列式，则中【】．. 必有一列元素全为0；. 必有两列元素成比例；. 必有一列向量是其余列向量的线性组合；. 任意列向量是其余列向量的线性组合．3．设是矩阵，而且的行向量线性无关，则【】．. 的列向量线性无关；. 线性方程组的增广矩阵的行向量线性无关；. 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；. 线性方程组有唯一解．4．设矩阵是三阶方阵，是的二重特征值，则下面各向量组中：⑴，，；⑵，，；⑶，，；⑷，，；肯定不属于的特征向量共有【】．. 1组；. 2组；. 3组；. 4组．应选：．5．设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【】．. ；. ；. ；. ．三．填空题（每小题3分，共15分）6. 设7. 设28.= 2889. 齐次线性方程组λ=0或210. 当元二次型正定时, 二次型的秩为 n四．选择题（每小题3分，共15分）1. 设( B )(a) A的两行(或列)元素对应成比例(b) A中必有一行为其余行的线性组合(c) A中有一行元素全为零(d) 任一行为其余行的线性组合2. 设n维行向量( B )(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+3. 设( C )(a) (b) (c)(d)4.s维向量组()线性无关的充分必要条件是( C )(a) 存在一组不全为零的数, 使得(b) 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出(c) 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出(d) 中任意两个向量都线性无关5. 设A为n阶方阵, 且秩两个不同的解,则的通解为( AB )(a) (b) (c) (d)一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中1．已知是关于的一次多项式，该式中的系数为____________．应填：．2．已知矩阵，且的秩，则___________．应填：．3．已知线性方程组有解，则___________．应填：4．设是阶矩阵，，是的伴随矩阵．若有特征值，则必有一个特征值是_________________．应填：．5．若二次型是正定二次型，则的取值范围是______________．应填：．二、选择题（1．设，，，，则必有【】．. ；. ；. ；.．应选：．2．设是4阶矩阵，且的行列式，则中【】．. 必有一列元素全为0；. 必有两列元素成比例；. 必有一列向量是其余列向量的线性组合；. 任意列向量是其余列向量的线性组合．应选：．3．设是矩阵，而且的行向量线性无关，则【】．. 的列向量线性无关；. 线性方程组的增广矩阵的行向量线性无关；. 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；. 线性方程组有唯一解．应选：．4．设矩阵是三阶方阵，是的二重特征值，则下面各向量组中：⑴，，；⑵，，；⑶，，；⑷，，；肯定不属于的特征向量共有【】．. 1组；. 2组；. 3组；. 4组．应选：．5．设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵，则下列矩阵中，可用正交变换化为对角矩阵的矩阵为【】．. ；. ；.；. ．应选：．一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式=m，=n，则行列式等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=，则A-1等于（）A. B.C. D.3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则 A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B.B C时A=0C. A0时B=CD. |A|0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.η1+η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A. B.C. D.第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

错填或不填均无分。

15. .16.设A=，B=.则A+2B= .17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23 )2= .18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= .22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .23.设矩阵A=，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A 12.B 13.D 14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15. 616.17. 418. –1019. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数20. n-r21. –522. –223. 124.1．二阶行列式≠0的充分必要条件是（）A．k≠-1 B．k≠3C．k≠-1且k≠3 D．k≠-1或≠32．设A为三阶矩阵，|A|=a≠0，则其伴随矩阵A*的行列式|A*|=（）A．a B．a2C．a3 D．a43．设A、B为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（）A．|AB|=|BA| B．|A+B|=|A|+|B|C．（AB）-1=A-1B-1 D．（A+B）2=A2+2AB+B24．设A可逆，则下列说法错误的是（）A．存在B使AB=E B．|A|≠0C．A相似于对角阵 D．A的n个列向量线性无关5．矩阵A=的逆矩阵的（）A． B．C． D．6．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α3的秩是（）A．0 B．1C．2 D．37．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（）A．α1+α2 B．α1-α2C．β+α1+α2 D．β+8．若A=相似，则x=（）A．-1 B．0C．1 D．29．若A相似于，则|A-E|=（）A．-1 B．0C．1 D．210．设有实二次型f(x1,x2,x3)=，则f（）A．正定 B．负定C．不定 D．半正定二、填空题11．设A，B均为三阶可逆阵，|A|=2，则|2B-1A2B|=_________. 12．在五阶行列式中，项a21 a32 a45 a14 a53的符号为_________.13．设A=，则A*=_________.14．设三阶方阵A等价于，则R（A）=_________.15．设α1=[1，2，x],α2=[-2，-4，1]线性相关，则x=_________.16．矩阵[1 -1 1]的秩为_________.17．设λ0是可逆阵A的一个特征值，则A-2必有一个特征值是_________.18.已知齐次方程组A4×5χ=0的基础解系含有3个向量，则R（A）=_________. 19．已知三阶矩阵A的三个特征值是-1，1，2，则|A|=_________.20．二次型f(x1,x2,x3)=-2 x1x2+x2x3的矩阵是_________.三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21．求行列式22．设A=求（1）（A+2E）-1（A2-4E）（2）（A+2E）-1（A-2E）23．求向量组α1=[1，-1，2，4]，α2=[0，3，1，2]，α3=[3，0，7，14],α4=[1，-1，2，0]的秩，并求出向量组的一个最大线性无关组。