第四章 线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 .2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =iD D. 三、用克拉默法则求解下列方程组1．832623x y x y +=⎧⎨+=⎩解：832062D ==-≠123532D ==-，2821263D ==-所以，125,62D Dx y D D====-2．123123123222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩解：213112112122130355011101r r D r r ---=--=-≠+---11222100511321135011011D r r ---=-+-=---，212121505213221310101101D r r --=-+-=-----， 3121225002112211511110D r r --=+=---所以， 3121231,2,1D D Dx x x D D D ======3．21241832x z x y z x y z -=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--， 31320101241204120182582D c c =-=--所以， 3121,0,1D D Dx y z D D D======4．12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解：2131412131111111111214012322315053733121102181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---3214212325111511102221422518231523528110121101005110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----212314113231511151112140723222150123733021101518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231200100215215552502714251152604c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D Dx x x x D D D D========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）. A.1k α； B.2k α； C.12()k αα+； D.12()k αα-.解：因为m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系 含1个向量。

而12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解， 所以120αα-≠为0AX =的解，则方程组0AX =的通解为12()k αα-。

2．设线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，则正确的是（ C ）A.k 必定为0；B. k 必定为1；C. k 为0或1；D.这样的k 值不存在.3．111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,且0i a ≠(1,2,,)i n =，0(1,2,,)j j n b ≠=， 则0Ax =的基础解系中含有（ A ）个向量.A.1n -；B.n ；C.1；D.不确定. 解：因为()1112112122221212n n n n n n n n a b a b a b a a b a b a b a A b b b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，11()10()1R A a b R A ≤≠⇒≥；又，所以，()1R A =。

4．设A 为n 阶方阵，()3r A n =- ，且123,,a a a 是0Ax =的三个 线性无关的解向量，则0Ax =的基础解系为（ A ）．A ．122331,,a a a a a a +++；B ．213213,,a a a a a a ---；C ．21321312,,2a a a a a a ---； D ．1233213,,2a a a a a a a ++---． 二、填空题1．n 元齐次线性方程组0m n A X ⨯=有非零解的充分必要条件是 ()R A n < .2．当 023λλλ===或或 时，齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解.3．写出一个基础解系由[]12,1,0T η=-，[]23,0,1Tη=组成的齐次线性方程组___ __123230x x x +-= .解：方程组可为123223323x x x x x x x =-+⎧⎪=⎨⎪=⎩即123230x x x +-=三、求解齐次线性方程组1234512345134512345233703230226054330x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：213141323223421231233712337332113048824A 1022602111554331061212361233710004/3(1/3)(1/4)0122601004/3220033110011623000000r r r r r r r r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-----⎪⎪-= ⎪⎪----- ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⨯⨯- ⎪- ⎪+- ⎪+-- ⎪⎝⎭11/30000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭所以，同解方程组为152534544554/34/311/3x x x x x x x x xx x =⎧⎪=⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎪=⎩，则1204/304/3,111/31001ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为一组基础解系，所以，通解为1122x k k ξξ=+。

四、已知3阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 的解.①求λ的值；②证明0B =.① 解：因为3阶非零矩阵B 的每一列都是方程组的解，所以方程组有非零解。

系数行列式A =122210311λ--=⇒-1λ=。

② 证明：依题意，AB O =。

假设0B ≠，则B 可逆，11AB O ABB OB A O --=⇒=⇒=，矛盾。

所以，0B =。

补充：求证：,m n n p A B ⨯⨯，0()()AB R A R B n =⇒+≤. 证明：依题意，矩阵B 的所有列向量1,,p ββ都是齐次线性方程组0Ax =的解，而0Ax =解空间的维数是()n R A -，所以，1()(,,)()p R B R n R A ββ=≤-，即()()R A R B n +≤。

§4-3 非齐次线性方程组一、选择题1．若()R A r n =<，则n 元线性方程组m n A X b ⨯= D .A.有无穷多个解；B.有唯一解；C.无解；D.不一定有解.2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x （ A ）.A. 无解；B. 只有0解；C. 有唯一解；D. 有无穷多解.3．方程組 12312321231x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ 有唯一解，则λ应满足（ A ）.A.2,1-≠≠λλ；B.2,1==λλ；C.2,1≠≠λλ；D.2,1≠-≠λλ.4．设A ＝1100011000111001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1234a a b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，Ax b =有解的充分必要条件为（ D ）． A .1234a a a a ===； B .12341a a a a ====； C .12340a a a a +++=； D .12340a a a a -+-= .二、填空题1．n 元非齐次线性方程组m n A X b ⨯=有解的充分必要条件是 ()(,)R A R A b =.2．若5元线性方程组AX b =的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则()r A =3 .3．设有一个四元非齐次线性方程组AX b =，()3R A =，又123,,ααα是它的三个解向量，其中12(1,1,0,2)T αα+=，23(1,0,1,3)Tαα+=，则非齐次线性方程组的通解为 (0,1,1,1)(1,1,0,2)T Tk --+ .解：因为123,,ααα是AX b =三个解向量，则1223()()(1,1,0,2)(1,0,1,3)(0,1,1,1)0T T T αααα+-+=-=--≠是0AX =的解，而()3R A =，所以(0,1,1,1)T--是0AX =的一组基础解系， 又1211()(1,1,0,2)22T αα+=是AX b =的解， 所以，AX b =的通解为(0,1,1,1)(1,1,0,2)T T k --+三、求解非齐次线性方程组23424538213496x y z x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩解：231410211245011238213~000041960000r A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=同解方程组为212x z y z z z =--⎧⎪=+⎨⎪=⎩令211ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为一组基础解系则通解为2112,()10x y c c R z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、,a b 取何值时，线性方程组1231231233244x ax x x ax x x x bx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？说明: 对于方程个数与未知量个数相等的含参数的线性方程组,判别其由唯一解, 有无穷解或无解时最好用:方程组有唯一解⇔系数行列式||0A ≠, 此种方法简单 又不容易出错.解: 方程组有唯一解⇔系数行列式||0A ≠2131111111||121001101101(1)(1)011a a r rA a a r r b a b aa b a b +-=---⨯-=-≠--而按第一列展开21233123(1)101310131013,101400010111~11401110001~()2(,)3,. (3)113,12141114r r r r A b r r b b b R A R A b a r r A b a ∴≠≠-⎛⎫⎛⎫⎛⎫↔ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=≠=∴⎛⎫↔ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭当a 0且b 1时,方程组有唯一解 (2)当a=0时,增广矩阵()=则此时方程组无解当b=1时,()=21312311141114121402100~11130101~ 11141114,~000001/201~01/2010000()2(,)3, 111,~r r a r r a a r r A b R A R A b A b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫↔ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==<∴≠当a=1/2时,()则此时方程组有无穷多解.当a 1/2时,()4021000001()2(,)3,a R A R A b ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭=≠=∴则此时方程组无解.。