线性代数考试练习题带答案说明:本卷中,A -1表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,||α||表示向量α的长度,αT表示向量α的转置,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=( ) A .-6 B .-3 C .3 D .62.设矩阵A ,X 为同阶方阵,且A 可逆,若A (X -E )=E ,则矩阵X =( ) A .E +A -1B .E -AC .E +AD .E -A -13.设矩阵A ,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是( ) A .⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B .⎛⎫ ⎪⎝⎭A B 不可逆C .⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭B AD .⎛⎫ ⎪⎝⎭A B 可逆,且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4.设α1,α2,…,αk 是n 维列向量,则α1,α2,…,αk 线性无关的充分必要条件是( )A .向量组α1,α2,…,αk 中任意两个向量线性无关B .存在一组不全为0的数l 1,l 2,…,l k ,使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C .向量组α1,α2,…,αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D .向量组α1,α2,…,αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5.已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=( ) A .(0,-2,-1,1)TB .(-2,0,-1,1)TC .(1,-1,-2,0)TD .(2,-6,-5,-1)T6.实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是( ) A .1 B .2 C .3D .47.设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解,β是其导出组Ax =0的解,则以下结论正确的是()A.α+β是Ax=0的解B.α+β是Ax=b的解C.β-α是Ax=b的解D.α-β是Ax=0的解8.设三阶方阵A的特征值分别为11,,324,则A-1的特征值为()A.12,4,3B.111,,243C.11,,324D.2,4,39.设矩阵A=121-,则与矩阵A相似的矩阵是()A.11123--B.01102C.211-D.121-10.以下关于正定矩阵叙述正确的是()A.正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B.正定矩阵的行列式一定小于零C.正定矩阵的行列式一定大于零D.正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题(本大题共10小题,每空2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分。
11.设det (A)=-1,det (B)=2,且A,B为同阶方阵,则det ((AB)3)=__________.12.设3阶矩阵A=12243311t--,B为3阶非零矩阵,且AB=0,则t=__________.13.设方阵A满足A k=E,这里k为正整数,则矩阵A的逆A-1=__________.14.实向量空间R n的维数是__________.15.设A是m×n矩阵,r (A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________.16.非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是__________.17.设α是齐次线性方程组Ax=0的解,而β是非齐次线性方程组Ax=b的解,则(32)+Aαβ=__________.18.设方阵A 有一个特征值为8,则det (-8E +A )=__________.19.设P 为n 阶正交矩阵,x 是n 维单位长的列向量,则||Px ||=__________.20.二次型222123123121323(,,)56422f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数是__________.三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21.计算行列式1112114124611242-----. 22.设矩阵A =235,且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1,求矩阵B .23.设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),===-=αααα求其一个极大线性无关组,并将其余向量通过极大线性无关组表示出来.24.设三阶矩阵A =143253242----,求矩阵A 的特征值和特征向量.25.求下列齐次线性方程组的通解.13412412345023020x x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-+=⎩ 26.求矩阵A =22420306110300111210----的秩.四、证明题(本大题共1小题,6分) 27.设三阶矩阵A =111213212223313233a a a a a a a a a 的行列式不等于0,证明: 131112121222323313233,,a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα线性无关.线性代数考试练习题带答案说明:在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵,A *表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式,r (A)表示矩阵A 的秩.一、 单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=( D ) A.-12B.-6C.6D.122.设矩阵A =120120003⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A *中位于第1行第2列的元素是( A )A.-6B.-3C.3D.63.设A 为3阶矩阵,且|A |=3,则1()A --=( B ) A.-3B.13-C.13D.34.已知4⨯3矩阵A 的列向量组线性无关,则A T 的秩等于( C ) A.1 B.2 C.3 D.45.设A 为3阶矩阵,P =100210001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,则用P 左乘A ,相当于将A ( A )A.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列6.齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为( B )A.1B.2C.3D.47.设4阶矩阵A 的秩为3,12ηη,为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解,c 为任意常数,则该方程组的通解为( A ) A.1212cηηη-+ B.1212c ηηη-+ C.1212cηηη++ D.1212c ηηη++8.设A 是n 阶方阵,且|5A +3E |=0,则A 必有一个特征值为( B ) A.53-B.35-C.35D.539.若矩阵A 与对角矩阵D =100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似,则A 3=( C )A.EB.DC.AD.-E10.二次型f 123(,,)x x x =22212332x x x +-是( D )A.正定的B.负定的C.半正定的D.不定的二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)11.行列式11124641636=_______16_____.12.设3阶矩阵A 的秩为2,矩阵P =001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,Q =100010101⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若矩阵B =QAP ,则r (B)=______2_______. 13.设矩阵A =1414-⎛⎫⎪-⎝⎭,B =4812⎛⎫⎪⎝⎭,则AB =_______________.14.向量组1α=(1,1,1,1),2α=(1,2,3,4),3α=(0,1,2,3)的秩为______2________. 15.设1η,2η是5元齐次线性方程组Ax =0的基础解系,则r (A)=_______3_______.16.非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵经初等行变换化为10002010020012-2⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,则方程组的通解是__________.17.设A 为3阶矩阵,若A 的三个特征值分别为1,2,3,则|A |=____6_______.18.设A 为3阶矩阵,且|A |=6,若A 的一个特征值为2,则A *必有一个特征值为_____3____.19.二次型f 123(,,)x x x =2221233x x x -+的正惯性指数为____2_____.20.二次型f 123(,,)x x x =22212323224x x x x x --+经正交变换可化为标准形. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)21.计算行列式D =3512 4533 1201 2034----22.设A=130210002-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭,矩阵X满足关系式A+X=XA,求X.23.设234αβγγγ,,,,均为4维列向量,A =(234αγγγ,,,)和B =(234βγγγ,,,)为4阶方阵.若行列式|A |=4,|B |=1,求行列式|A+B |的值.24.已知向量组1α=(1,2,-1,1)T ,2α=(2,0,t ,0)T ,3α=(0,-4,5,-2)T ,4α=(3,-2,t+4,-1)T (其中t 为参数),求向量组的秩和一个极大无关组.25.求线性方程组12341234123423222547x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩的通解..(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)26.已知向量1=α(1,1,1)T ,求向量23αα,,使123ααα,,两两正交.四、证明题(本题6分)27.设A为m n实矩阵,A T A为正定矩阵.证明:线性方程组A x=0只有零解.。