则
dMMdMdt
dt
M
lM n t C 1 _ M _ e t C 1 e C 1 e t
第二节 一阶微分方程
例4：
MCet __初 _ 始 _M0C MM0et
一容器内有100升葡萄糖水，其中含葡萄糖10千克，今 以2升/分的速度将净水注入，并以同样速度使葡萄糖水 流出。有一搅拌器不停的工作，可以认为溶液的浓度 是均匀的。求（1）t时刻的葡萄糖含量（2）50分钟后 的葡萄糖的含量。
当X=2时,y=4，得 C=10
特解： x2 y2 20
y2 x2 C 22
第二节 一阶微分方程
例3：
由物理学知道，放射性元素铀在某时刻的衰变速度 与该时刻铀的质量 M成正比。已知 t=0时，铀的质 量为 M，求在衰变过程中铀的质量随时间变化的 规律。
解：设在时刻 t的质量是 M=M(t)，衰变速度是d M/dt
x
例： 考察方程 p119
uxd du xf(u) f(u d)uud x x
两边积分，用u=y/x代入。 例：例6-7、6-8、6-9
三、一阶线性微分方程
定义：一阶微分方程中的未知函数y以及 它的导数y都是一次幂，称为一阶线性微分 方程。(linear first-order differential equation) 一般形式：
ln x 0.02t ln C
x Ce0.02t
第二节 一阶微分方程
初始条件：t=0, x=10 得 C=0
则： x10e0.02t
当 t=50时，得 x10e13.67（ 9 千克
第二节 一阶微分方程
二、一阶齐次方程
定义 如果一阶微分方程，可化为 y ' f ( y )
称这微分方程为齐次微分方程。
yeu(x)ep(x)dxyeu(x)ep(x)dx记 作 yc(x)ep(x)dx
设想方程的解有形式： yc(x)ep(x)dx
y C p e (x )d xe p (x )dx Q (x )e p (x )dd x x
三、一阶线性微分方程
非齐次方程的通解由两部分组成： 第一部分是对应齐次方程的通解；第二 部分是原来非齐次方程的一个特解。
偏微分方程：未知函数为多元函数，出现 偏导数的方程。
本章只讨论常微分方程 一般形式：
F(x,y,y' yn)0
第一节 基本概念
微分方程中未知函数的导数 （或微分） 的最高阶数，叫微分方程的阶。
(order)
三、常微分方程的解 定义2：满足微分方程的函数，叫作微分
方程的解。(solution)
第一节 基本概念
(1) 通解：含有独立的任意常数、且 个数与微分方程的阶数相同的解。
(general solution)
(2) 特解：在通解中，利用已知条件 （或初始条件 initial condition）确 定任意常数后， 所得的解。
（particular solution）
第一节 基本概念
一般一阶微分方程初始条件： xx0 时 yy0或 yxx0 y0
y' P(x)yQ (x)
三、一阶线性微分方程
线性齐次(homogeneous)方程 :
y' P(x)y0 Q(x)=0
线性非齐次(inhomogeneous)方程：
y' P(x)yQ(x)
齐次方程的解：分离变量得
三、一阶线性微分方程
dyp(x)dxlny y
p(x)dxC1
yC1ep(x)dx yCep(x)dx___CC1
三、一阶线性微分方程
y Cep(x)dx
非齐次方程的解：常数变易法 (method of variation of constants), 将齐次通解中的 C=C(x).方程变为
dyQ(x)p(x)dx___两边积分 yy
ln y Q(yx)dxp(x)dx记 作u(x)p(x)dx
三、一阶线性微分方程
例：p118 例6-4—例6-6
例1： 求微分方程的通解 dyx(1y2)
dx
解：分离变 —1量 dyy2得 xdx
两边积分：arctgy1x2 C
2
通解为：
ytg(1x2 C) 2
第二节 一阶微分方程
例2： 求微分方程满足初始x=2,y=4条件的特解
分离变量：ydy=-xdx 两边积分得：
dx dy 0 yx
C2
t
0,
s
0,
ds dt
0
C1
0, C2
0
s 1 gt2 2
第一节 基本概念
二、常微分方程 定义1：含有自变量、未知函数和未
知函数的导数（或微分）的方程称 为微分方程。(Ordinary differential
equation)
第一节 基本概念
常微分方程：未知函数为一元函数的微分 方程。（只有全导数，没有偏导数）
二阶初始条件：
xx0, yy0, y' y1 或y xx0 y0, y' xx0 y1
第二节 一阶微分方程
一般形式
dy F(x, y) dx
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
如果方程形式为：
dyf(x)g(y)dyf(x)dx
dx
g(y)
两边积分 ：
dy g(y)
f
(x)dx
第二节 一阶微分方程
高等数学
高等数学
第六章 微分方程
第一节 基本概念
一、实例 例6-1、6-2
例1：一曲线通过点（1，2），曲线上任意 点的切线斜率为2x，求曲线方程。
解：设所求曲线为 y= f(x), 则
d d y x2x d y2xd x d y2xdx
第一节 基本概念
y x 2 C ，， x 1 ,y 满 2 D 足 1 y x 2 1
第二节 一阶微分方程
解：设t 时刻溶液中的葡萄糖含量为x，则
在t,t+dt内溶液中葡萄糖含量的变化为 葡萄糖含量的增量=流进的葡萄糖量-流 出的葡萄糖量 葡萄糖的增量为dx，流 进的葡萄糖量为零。t 时刻的浓度x/100 为dt 内的浓度，则流出的葡萄糖量为 x/100·2dt, 微分方程为
dx 0.02 xdt
例2：在理想环境中，某细菌的增殖速率与它的 即时存在量成正比。试建立细菌在时刻的存在 量满足的微分方程。
dN(t) kN(t) dt
第一节 基本概念
例3பைடு நூலகம்自由落体问题
m
d2s dt 2
mg
d2s dt 2
g
d ( ds ) dt
gdt
ds dt
gt
C1
ds
(gt
C1)dt
s
1 2
gt 2
C1t
例：p122 例6-10、6-11
三、一阶线性微分方程