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所有基本题目解答过程均须不少于姜启源先生《数学模型第三版习题参考解答》之答案长度！第1章数学模型引论在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）（小型题目模版）解：模型分析（黑体五号字）：……宋体五号字模型假设与符号说明（黑体五号字）：……宋体五号字模型建立：……宋体五号字模型求解：……宋体五号字程序源代码（如果需要编程）：……宋体五号字程序运行结果（如果有图形或数据）：……宋体五号字模型讨论：……宋体五号字在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n 名商人带n 名随从过河，船每次能渡k 人过河，试讨论商人们能安全过河时，n 与k 应满足什么关系。

（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。

问人、狗、鸡、米怎样过河？有3对阿拉伯夫妻过河，船至多载两人，条件是根据阿拉伯法典，任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。

问怎样过河？如果银行存款年利率为%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？某城市的Logistic 模型为2610251251N N dt dN ⨯-=，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。

设该市1990年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。

当∞→t 时发生什么情况。

假设人口增长服从这样规律：时刻t 的人口为)(t x ，最大允许人口为m x ，t 到t t ∆+时间内人口数量与)(t x x m -成正比。

试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。

一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？第2章初等模型学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。

学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.（2）节中的Q值方法.（3）d’Hondt方法：将各宿舍的人数用正整数,2,1,3相除，其商数如下nΛ=表：将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中A，B，C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支元,120克装的每支元,二者单位的重量的价格比是:1,试用比例方法构造模型解释这个现象.（1）分析商品的价格C与商品重量W的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素。

(2)给出单位重量价格C与W的关系。

画出它的简图，说明W越大C越小，但是随着W的增加C减小的程度变小。

解释实际意义是什么。

一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。

用已知尺寸的矩形板材加工一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法使加工出尽可能多的圆盘。

雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。

生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。

举重比赛按照运动员的体组,你能在一些合理、简化设下建立比赛成绩与体重的关系吗。

下面是一界奥运赛的成绩，可供检验你的模速度为v 的风吹在迎风面积s 为的风车上，空气密度是ρ。

用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v ，s ，ρ的关系。

雨速的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。

用量纲分析方法给出速度v 的表达式。

用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量。

记水的流速v ，密度ρ，比热c ，粘性系数μ，热传导系数k ，人体尺寸d 。

证明人体与水的热交换系数h 与上述各物理量的关系可表为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k c d v d k h μμρϕ,，ϕ是未定函数，h 定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为C ο1时的热量交换。

在小说《格里佛游记》中,小人国中的人们决定给格里佛相当于一个小人食量1728倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小人的12倍.他的体格是小人的172812=3倍.所以他需要的食物是一个小人的食量的1728倍.为什么他们的推理是错误的?正确的答案是什么?第3章 简单的优化模型在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。

重新确定最优订货周期和订货批量。

证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。

而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。

建立不允许缺货的生产销售存贮模型。

设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r k >在每个生产周期T 内，开始的一段时间)0(0T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间(t T <0T <)只销售不生产，画出贮存量)(t q 的图形。

设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期。

讨论r k >>和r k ≈的情况。

在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。

在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变。

试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高m 5.1=a （颈部以下），宽m 5.0=b ，厚m 2.0=c ，设跑步距离m 1000=d ，跑步最大速度s /m 5=m v ，雨速s /m 4=u ，降雨量h /cm 2=w ，记跑步速度为v 。

按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1，建立总淋雨量与速度v 及参数a ，b ，c ，d ，u ，w ，θ之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少。

计算ο0=θ，ο30=θ时的总淋雨量。

（3）雨从背后吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2。

建立总淋雨量与速度v 及参数a ，b ，c ，d ，u ，w ，α之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少。

计算ο30=α时总淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v 为横轴，对(3)作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。

图1 图2甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别是x 和y 。

设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中占的份额，是它们的广告费在总广告中所占份的函数)(y x x f +和)(yx y f +。

又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费即为公司的利润。

试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。

（1）令yx xt +=，则1)1()(=-+t f t f 。

画出)(t f 的示意图。

（2）写出甲公司利润的表达式)(x p 。

对于一定的y ，使)(x p 最大的x 的最优值应满足什么关系。

用图解法确定这个最优值。

人行走时作的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。

试建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适（匀速行走）。

（1）设腿长l ，步长s ，证明人体重心在行走时升高)(82l s l s <≈δ（2）将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的转动。

设腿的质量m ，行走速度v ，证明单位时间所需动能为s mv 62。

（3）设人体质量M ，证明在速度v 一定时每秒行走 =n mlMg43步作功最小。

实际上，m l mM1,4≈≈分析这个结果合理吗？ （4）将（2）的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。

证明结果应为mlMgn 4=步。

分析这个结果是否合理。

驶于河中的渡轮，它的行驶方向要受水流的影响。

船在河的位置不同，所受到水流的影响也不同。

试设计一条使渡轮到达对岸时间最短的航线。

发电站的设计者们在堰坝上安装水轮机，当潮水通过堰坝时，推动水轮机运转，从而带动发电机发电。

潮水通过水轮机的瞬时速度可由操作者控制，那么，要生产最大能量，应如何控制潮水的瞬时速度？为了保证病人平躺在长宽分别为p，q的病床上从病房进入手术室（如图所示），两条垂直的通道至少应宽多少？* 观察鱼在水中的运动发现，它不是水平游动，而是突发性、锯齿状地向上游动和向下滑行。

可以认为这是在长期进化过程中鱼类选择的消耗能量最小的运动方式。

（1）设鱼总是以常速v运动，鱼在水中净重w，向下滑行时的阻力是w在运动方向的分力；向上游动时所需的力是w在运动方向分力与游动所受阻力之和，而游动的阻力是滑行阻力的k倍，水平方向游动时阻力也是滑行阻力的k倍，写出这些力。

（2）证明当鱼要从A 点到达处于同一水平线上的B 点时（见下图），沿折线ACB 运动消耗的能量与沿水平线AB 运动消耗的能量之比为（向下滑行不消耗能量）)sin(sin sin βαβα++k k 。

（3）根据实际观察2.0tan ≈α，试对不同的k 值（，2，3），根据消耗能量最小的准则估计最佳的β值。

B第4章 数学规划模型某饲养场用n 种原料配合成饲料喂鸡，为了让鸡生长得快，对m 种营养成分有一个最低标准。

即对m i ,,1Λ=，要求第种i 营养成分在饲料中的含量不少于i b ，若每单位第j 种原料中含第i 种营养成分的量为ij a ，第j 种原料的单价为j c ，问应如何配制饲料才能使成本最低？乙、丙、丁四人去干四项工作，每人干且仅干一项。