g / 1 达到最大值 共振
2.方程的特解II——冲击强迫振动
地面冲击运动：
xg
(
)
x0g
0 dt dt
对质点冲击力：
P
mxg 0
0 dt dt
质点加速度（0～dt）：
a
P m
xg
dt时刻的速度：
V
P m
dt
xg dt
dt时刻的位移： d 1 P (dt)2 0 2m
4.1 概述
1.基本概念：
地震作用——地震引的结构振动，在结构中产生动力荷载效 应（内力、变形等），属于间接作用。地震作用是建筑抗震 设计的基本依据，取决于地震强弱、场地、结构动力特性等。
地震作用效应——地震作用在结构中产生的内力和变形。
结构动力特性——结构固有的动力性能，如自振周期、阻尼、 振型等。
C —— 阻尼系数
＊弹性恢复力 ——由结构弹性变形产生
f r kx k —— 体系刚度
力的平衡条件：
fI fc fr 0
mx cx kx mxg
令 k c
m
2m
x 2x 2 x xg
二、运动方程的解
自由振动：在没有外界激励的 情况下结构体系的运动
1.方程的齐次解——自由振动
M
g (t) (t)
kH
g max
g
定义为水平地震系数， 根据抗震设防烈度选用
g (t)
图 4.11
单质点体系示意图
g
max
g max
为动力放大系数，根据选定的反应谱曲线 及体系的自振周期确定
规范中，还引入综合影响系数 Cz ，以考虑结构的延性耗能作用，则
P Cz kH . W
4 多自由度体系（MDOF）的地 震反应
x(t)
A(
g
)2 1
(
g
)
2
sin
g
t
2
g
cos
g
t
1
(
g
)
2
2
2
(
g
2 )
化简为 x(t) B sin( g t )
振幅放大系数
B
A
( g / )2
1
(
g
)
2
2
2
(
g
2 )
A —地面运动振幅 B —体系质点的振幅
1
2
0.2 0.5 1
2
5
g /
图 单自由度体系简谐地面强迫振动振幅放大系数
具有不同周期（Ti，频率为ωi）、阻尼比为ζ 的一组SDOF体系,在给定的地震动过程x’’g(t)的 作用下,各质点体系的最大绝对加速度反应记为 Sa,以周期T为横坐标、Sa为纵坐标，画出的曲 线就是阻尼比ζ的SDOF体系在为x’’g(t)作用下 的加速度反应谱。
xg t x t max
Sa (T , )
齐次方程：x 2x 2 x 0
方程的解：
特征方程 r 2 2r 2 0
特征根
r2 2 1 r1 2 1
（1）若
体系自由振动 ——无阻尼状态
（2）若
0
10，r1x、(tr)
2
为c1 共co轭s复t数
cx2(sti)net t
(c1
cos
Dt
c2
sin
Dt)
其中 D 1 2
振频率。
结构的振型和自振频率是结构的固有特性，和单自由 度一样是反映结构动力特性的主要量。因此在讲到结 构动力特性时，首先想到的就是结构的自振振型和频 率。
4.2 多自由度体系的自振振型和自振频率
结构的自振振型和频率，可通过分析结构的无阻尼自由 振动方程获得。
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
M u Ku 0
运动方程 自振特性（自振周期、自振振型） 振型正交性 振型分解（叠加）法 振型分解反应谱法
4.1 MDOF体系的运动方程
牛顿第二定律； 直接平衡法(d’ Alember)； 虚位移原理； Hamilton方程； 运动的Lagrange方程
4.1.1 直接平衡法
N个自由度体系离散成N个质点—弹簧模型。
面结构的集描述举例
a、水塔建筑
h
h
h
b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）
主要(a质) 水量塔：水箱部分
水塔次要质量：塔柱部分
水箱全部质量 部分塔柱质量
集中到水箱质心
(b) 厂房
主要质量：屋面部分
厂房各跨质(b量) 厂集房中到各跨屋盖标高处
(c) 多单、质高层点建体筑 系
(d) 烟囱
其中[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵，{u}和{ü}是 N阶位移和加速度（或广义坐标）向量，{0}是N阶零
向量。
比为参数，绘出最大相对位移、最大相对速度和最大绝对 加速度的谱曲线，分别称为相对位移反应谱、拟相对速度 反应谱和拟加速度反应谱 （分别简称为位移反应谱、速度 反应谱和加速度反应谱），并用符号记为SD、PSV和PSA
PSA 2 SD
忽略小阻尼比的影响光，滑平有均 ：
地震 1
地震 2
T1 T2 T3 T4 T5
fI fD fs p(t)
4.1.1 直接平衡法
结构体系的运动方程可以用矩阵的形式表示为：
M uCuKu p(t)
[M]—质量矩阵； [C]—阻尼矩阵； [K]—刚度矩阵； {p(t)}—外荷载向量。
4.1.2 水平地震作用下MDOF体系运动
方程
u3
m3
m3
fDi
k3
m2
u2 m2
fIi
mi
图 地面冲击运动
地面冲击作用后，体系不再受外界任何作用，将做自由振动
自由振动初速度为 V xg dt
根据自由振动位移方程，可
得
x(t)
xg dtet
D
s in D t
图 体系自由振动
4.方程的特解III —— 一般强迫振动
地震地面运动一般为不规则往复运动
求解方法：
地面运动加速度时程曲线
将地面运动分解为很多个脉冲运动
t 时刻的地面运动脉冲 xg ( )d
引起的体系反应为：
dx(t)
e (t )
0 xg ( )d
D
sin D (t
)
t t
叠加：体系在t时刻的地震反应为：
地面运动脉冲引起的单自由度体系反应
x(t)
t
dx(t)
1
0
D
t 0
xg
(
)e
(t
)
sin
D
(t
)d
杜哈密积分
方程通解（单自由度体系）：
体系产生振动 ——欠阻尼状态
（3）若 1 ， r1 r2 x(t) (c1 c2t)e t
体系不振动 ——临界阻尼状态
（4）若
x(t)
1 ，r1
=0 0 1
、r 2 为负实数
x(t ) c1e r1t c2 e r2t
体系不振动 ——过阻尼状态
11
当 1
图 各种阻尼下单自由度体系的自由振动
t 临界阻尼系数： cr 2m
临界阻尼比（简称阻尼比） c
cr
初始条件: 初始位移 x0 x(0) , 初始速度 x0 x(0)
则 c1 x0
c2
x0
x0 D
体系自由振动位移时程
x(t)
et [x0
cos Dt
x0
x0 D
sin Dt]
当
0 （无阻尼）
x(t)
x0
cos t
C C
Ccr 2m
d
1 2
2fd
2
Td
A C12 C22
4.2桥梁结构地震反应分析方法
结构抗震设计理论发展过程主要经历三个阶段—— 静力法、动力反应谱法和动态时程分析法
4.2.1.静力理论阶段---静力法
1920年，日本大森房吉提出。 假设建筑物为绝对刚体。
地震作用：
m
mxg (t)
xg (t)
所以，
m C
EI
mg
速 度 (g)
0.1 0.0 -0.1
-0.2
-0.3
0
5
10
15
20
25
时间（秒）
4.1.2 结构动力特性
齐次方程的通解代表结构的固有振动或自由振动
m C EI 0
通解为， (z,t) (z) f (t)
自振挠曲线的形状，即振型
其中， f (t) ewt C1 cosdt C2 sin dt 振幅的衰减函数
集中化描述举例 (a) 水(a塔) 水塔
c、多、高层建筑
((bb)) 厂 厂房房 d、烟囱
c) 多主(c、 要) 质高多量层、：建 高楼层筑盖建筑部分 多质点体系
结构(无(dd)主) 要烟烟质囱囱量部分
结构分成若干区域
集中到各区域质心
多质点体系
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4.1 结构抗震动力学初步概念
4.1.1 结构地震振动方程
(a) 水塔
T 2 m 2 10000 1.99s
k
1103 /10 2
2.方程的特解I——简谐强迫振动
地面简谐运动 使体系产生简谐强迫振动
设 xg (t) Asin g t ，代入运动方程 x 2 x 2x Ag2 singt
方程的特解（零初始条件 x(0) 0 x(0) 0 ）：
反应谱曲线，是在1,050多条国内外地震加
速度记录反应谱统计分析的基础上，针对
1
II类场地 III类场地 IV类场地
四类不同场地条件给出的。 阻尼比为5% 。