结构弹塑性动力分析的基本过程与之相类似：
} [C]{ } {F} [M ]{ } [M ]{ U U U g
唯一的变化在于恢复力向量 {F} 代替了弹性力向量 [K]{U} ，这种形式上的替代使我们可以方便地考虑 结构的非线性增量方程 。
一、动力方程
对单自由度体系，结构在时刻 tj+1 的反应可以用 tj 的反应迭加 一个线形增量:
i B
i 0 x
Y（正向）
按卸 载刚 度修 正刚 度
N（小于最大变形）
i B
Y（超过最大变形）
i B
N（小于最大变形）
(经过P、 G、L点)
i A
N
(经过B、H、 I点 ) Y
Y（同向）
i A
i j
(经过N、 J点) Y
fi fi1 0
数值分析中几个关键问题
恢复力模型中转折点的处理
M My
恢复力模型中转折点处理的关键在于 要找到Δt时间内转折点出现的时刻。
O
Mc
c y
m

通常寻找转折点的方法有优选法、二 分法、插值法、台劳展开法等
数值分析中几个关键问题
P－Δ效应的影响
*结构由于重力作用和水平位移影响会产生附加反应, 这种现象称为 P-Δ效应。
N
(经过E、Q、 F、K点) Y
i j
N
Y
fi fi1 0
按最 大点 指向 修正 刚度
N
按最 大点 指向 修正 刚度
在JF线上:小 于最大变形F 点; 在NO线上: 小于最大变 形K点;
按骨架曲 线修正刚 度，并改 变状态变 量
在FK线上: 来回振动。 在EQ线上: 来回振动。 在QF线上: 来回振动。
i
Ki
K0

2 f i1
f
2 01
DTi 1 i 1
2 f i1
2 f 01
当DTi=0，表示无损伤；DTi=1，表示结 构破坏。
i1 2 DTi 01 2(1 DTi )
对于旧房屋可根据现场动力实测结合 理论计算分析，用此式识别出结构的 损伤；若结构连续受多次地震的作用， 每次地震后可以算出结构的自振频率， 再用此式算出结构的损伤指标。
J
Q
二、刚度修正技术（续） 二、刚度修正技术（续） （ 1 ）根据变形速度的符号判定变形方向，然后判 明本步变形绝对值是否超过同方向历史最大变形 绝对值。
• 当超过时，则加载点必在骨架曲线上，此时，可将本
步累积变形值与骨架曲线界点变形值相比较。
• •
超过界点值时改变状态标识变量并修正刚度；
不超过界点值时，不修正刚度。
-0.75Psiy
-Psiy
0.75Psiy
钢筋弹簧
混凝土弹簧
恢复力模型
单向弯曲时
M/My 1 骨架曲线
M
2. 建立在截面层次上的恢复力模型
y’ y
Ni
/y
My ky ky O kr
(M0/My, 0/y)
x
EI1 EI2 EI3 Mj Nj
Vi
Mi
lp1 l
lp2 Vj x’
-2
2

M
O
{M0y}
恢复力模型
2. 建立在截面层次上的恢复力模型
构件截面的强度退化
M
y M Sd M f y f


MuMy Mf A NhomakorabeaMB Mf
p(EIe) m1() C
(EIe)
u f
O
y
m1 ( ) M y ( y ) p(EI ) e [( f y ) p(EI ) e M y M f ]S d
在刚度修正技术中，还有界点刚度 转换问题，即在前后两时刻刚度发生变 化（即恢复力曲线有转折）时，需将时 间步长分割，求出刚度发生变化时（即 到达恢复力曲线的转折点）的时刻。在 此时刻之前按原刚度计算，在此时刻之 后按改变后的刚度计算。
三、一般分析过程
• 弹塑性结构反应分析的思路分为三个基本组成部分：
框架柱中的轴力变化有两种情况: 一是由于水平地震作用产生的倾覆弯矩在柱中引起的轴力变化; 二是由于竖向地震分量引起的轴力变化
第二种情况产生的变轴力对框架 结构以及变轴力对剪力墙结构的 影响还有待作进一步的研究
数值分析中几个关键问题
梁柱节点区域性能对框架结构地震反应的影响
处理方法之一：在恢复力模型中考虑节点区域钢筋滑移的影响 （武田的模型）
第六章 弹塑性结构地震反应分析
第一节 弹塑性动力分析概述
第二节 串联多自由度体系分析
第三节 平面框架模型 第四节 多维地震波作用下的平－扭耦联系统
第一节 弹塑性动力分析概述
结构弹塑性地震反应问题是地震工程学研究的热点
之一。
一般结构物都在强震中会进入弹塑性变形阶段。 结构的弹塑性反应与线性反应的表现有很大不同：
结构的基本动力特性变化 整体结构的动力反应特征不同
引用弹塑性分析的概念和具体做法，有利于研究结
构地震反应的本质特征，有助于揭示设计结构的最 不利薄弱环节。
第一节 弹塑性动力分析概述
一、动力方程
二、刚度修正技术
三、一般分析过程
一、动力方程

结构在多维地震波作用下的一般动力方程为：
} [C]{ } [K ]{ } [M ]{ U U U} [M ]{ U g
恢复力模型
1. 建立在材料层次上的恢复力模型
Li氏弹簧模型
梁 非弹性单元 弹性单元 柱 Psi Psiy 0.75Psiy Psic dsiy dsimax ksi0 ksi0 dsi
Pci Pciy kci0
弹簧单元
dsimax
Pcic
2dcit dcit dci dciy Pcit dcimax
在AB线上; 在GC线上: 小于最大变 形C点; 在LM线上: 小于最大变 形 I点 ;
按骨架曲 线修正刚 度，并改 变状态变 量
在BC线上: 来回振动。 在CH线上: 来回振动。 在HI线上: 来回振动。
j F y i k j
二、刚度修正技术（续） 二、刚度修正技术（续）
二、刚度修正技术
结构线性地震反应分析与非线性地震反应分析的主要差别
在于刚度矩阵是否变化。对于弹塑性结构，在每一步增量 反应计算之先，要先行修正刚度矩阵中各元素的量值，此 即刚度修正技术。
修正刚度矩阵的过程实质是重新形成总刚度矩阵的过程。
在这里，区分总刚度矩阵、单元刚度矩阵、刚度系数、截 面抵抗矩等概念十分重要。修正刚度矩阵与应用恢复力模 型的联系途径是通过这些概念转换的。这一途径可用图6.2 加以说明。
Mx Myy Myx Mcx kex O My {M} Mx My {M} kcx
My
Mcx {M0cx, M0cy} Mcy
kyx
Mx
x {M0yx, M0yy}
Myx
屈服面
开裂面
Mx
{M0y}
{M0c}
{M0y}
My {M0c} 接触点 {M0c}
My
{M0c} {M}
Mx
Mx
{M}
{M0y}
y
m
(-M0/My, -0/y)
-1
M ky kr

M My
O
y

O O Mc
c y
m

恢复力模型
2. 建立在截面层次上的恢复力模型
双向弯曲时----双线型屈服面模型
屈服面的移动 Mx Myx kyx kex My
x
O
Mx
O
恢复力模型
2. 建立在截面层次上的恢复力模型
双向弯曲时----三线型屈服面模型
其中yi为第I层的位移 ，
6EJ GAh 2
，
µ 为剪应力不均匀系数；h为层高；A，J分别为截面 积和惯性矩。
•
Qi 根据Q－Δ恢复力关系进行动力分析时，弹性层间刚度 i Ki
为：
• 在弹塑性阶段，则有：
dQi (t ) K i (t ) d i (t )
二、弯剪模型
• 高宽比大于4的结构、强柱弱梁
Pm dm ks dm d0 d y
k
P (dc, Pc) d0 ks d (dy, Py) (d m , P m )
数值分析中几个关键问题
梁柱节点区域性能对框架结构地震反应的影响
处理方法之二：在杆端引入滑移转动角（杜宏彪、沈聚敏的模型）
M 弹性区

滑移转动角 非弹性区
数值分析中几个关键问题
*众多研究表明, P-Δ效应对结构弹性地震反应的影响不大, 当结构 进入弹塑性阶段后随着结构变形程度的增大P-Δ效应的影响越来 越明显, 但是不同结构受P-Δ效应的影响程度各不相同
数值分析中几个关键问题
变轴力对结构地震反应的影响
对第一种情况的理论分析和试验研究 表明: 变轴力对单根杆件单元的反应有 明显的影响, 并会在结构中产生刚度和 强度偏心进而引起扭转反应, 但是变轴 力对“强柱弱梁”型框架整体反应的 影响较小
型结构和高耸结构等，在结构 振动时，弯曲效应不容忽视。 应采用同时考虑弯曲变形和剪 切变形的弯剪模型。
二、弯剪模型 （续）
QiA K 4i K 4i K 3i K 3i u i • 层间单元刚度矩阵服从下述一般关系： Q K iB 4i M iA K 3i M iB K 3i K 4i K 3i K 3i K 3i K1i K 2i K 3i K 2i u i 1 i K1i i 1